已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数，其前 $n$ 项和为 $S_n$，且对任意 $n\in \mathbb N^*$，都有$$S_n^2-(n^2+n-1)S_n-(n^2+n)=0.$$
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
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求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=2n $（$n \in \mathbb N^*$）解析由$$S_n^2-(n^2+n-1)S_n-(n^2+n)=0,$$得$$(S_n+1)(S_n- n^2-n)=0.$$因为 $a_n>0$，所以 $S_n>0$（$n\in \mathbb N^*$），则$$S_n=n^2+n.$$当 $n \geqslant 2$ 时，$$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n.$$又 $a_1=S_1=2$ 也满足上式，所以 $a_n=2n $（$n \in \mathbb N^*$）．
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设 $b_n=\dfrac {2}{(n+2)a_n}(n\in \mathbb N^*)$，数列 $\{b_n\}$ 的前项和为 $T_n$．证明：$T_n<\dfrac 34$（$n\in \mathbb N^*$）．标注答案略解析由 $(1)$ 知 $a_n=2n$，则$$b_n=\dfrac {1}{n(n+2)}=\dfrac 12\left(\dfrac 1n-\dfrac {1}{n+2}\right),$$所以\[\begin{split}T_n &=b_1+b_2+b_3+\cdots +b_n \\ &=\dfrac 12 \left[\left(1-\dfrac 13\right)+\left(\dfrac 12-\dfrac 14\right)+\left(\dfrac 13-\dfrac 15\right)+\cdots +\left(\dfrac 1n-\dfrac {1}{n+2}\right)\right] \\ & =\dfrac 12 \left(1+\dfrac 12-\dfrac {1}{n+1}-\dfrac {1}{n+2}\right)\\ & <\dfrac 12 \left(1+\dfrac 12\right)=\dfrac 34.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
