已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=\dfrac14,a_2=\dfrac34,a_{n+1}=2a_n-a_{n-1}(n\geqslant2)$，数列 $\{b_n\}$ 满足：$b_1\ne\dfrac14$，$3b_n-b_{n-1}=n(n\geqslant2)$，数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛河北省预赛（高三）
【标注】
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证明：数列 $\{b_n-a_n\}$ 为等比数列；标注答案略解析因为 $a_{n+1}=2a_n-a_{n-1}(n\geqslant2)$，所以$$a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}(n\geqslant2),$$因此 $\{a_n\}$ 是等差数列．
又因为$$a_1=\dfrac14,a_2=\dfrac34,$$所以 $a_n=\dfrac{2n-1}{4}$．
由 $3b_n-b_{n-1}=n$，可知$$b_n=\dfrac{b_{n-1}+n}{3},$$所以\[\begin{split}b_n-a_n&=\dfrac13b_{n-1}+\dfrac{n}{3}-\left(a_{n-1}+\dfrac12\right)\\&=\dfrac13(b_{n-1}-a_{n-1})-\dfrac23a_{n-1}+\dfrac{2n-3}{6}\\&=\dfrac13(b_{n-1}-a_{n-1}).\end{split}\]又$$b_1-a_1=b_1-\dfrac14\ne0,$$所以数列 $\{b_n-a_n\}$ 为等比数列． -
若 $b_1=\dfrac{11}{12}$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$．标注答案$\dfrac14n^2-\left(\dfrac13\right)^n+1$解析由 $(1)$ 得$$\begin{split}b_n&=\dfrac{2n-1}{4}+\left(b_1-\dfrac14\right)\cdot\left(\dfrac13\right)^{n-1}\\ &=\dfrac{2n-1}{4}+2\cdot\left(\dfrac13\right)^n,\end
{split}$$所以$$\begin{split}S_n&=\dfrac14n^2+2\cdot\dfrac{\frac13\left(1-\left(\frac13\right)^n\right)}{1-\frac13}\\ &=\dfrac14n^2-\left(\dfrac13\right)^n+1.\end{split}$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
