已知函数$$f(x)=\ln (x+1)+\dfrac {ax}{x+1}(a \in \mathbb R).$$
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
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当 $a=2$ 时，求函数 $y=f(x)$ 的图象在 $x=0$ 处的切线方程；标注答案$y=3x$解析当 $a=2$ 时，$$f(x)=\ln (x+1)+\dfrac {2x}{x+1},$$所以$$f'(x)=\dfrac {1}{x+1}+\dfrac {2}{(x+1)^2}=\dfrac {x+3}{(x+1)^2},$$于是 $f'(0)=3$，所以所求的切线的斜率为 $3$．
又因为 $f(0)=0$，所以切点为 $(0,0)$．
故所求的切线方程为 $y=3x$． -
判断函数 $f(x)$ 的单调性；标注答案当 $a \geqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 单调递增；当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-1,-1-a)$ 单调递减，在 $(-1-a,+\infty)$ 单调递增解析因为$$f(x)=\ln (x+1)+\dfrac {ax}{x+1}(x>-1),$$所以$$f'(x)=\dfrac {1}{x+1}+\dfrac {a(x+1)-ax}{(x+1)^2}=\dfrac {x+1+a}{(x+1)^2}.$$
情形一 当 $a \geqslant 0$ 时，因为 $x>-1$，所以 $f'(x)>0$．情形二 当 $a<0$ 时，由 $f'(x)<0$，得$$-1<x<-1-a.$$由 $f'(x)>0$，得$$x>-1-a.$$综上，当 $a \geqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 单调递增；当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-1,-1-a)$ 单调递减，在 $(-1-a,+\infty)$ 单调递增． -
求证：$$\ln \left(1+\dfrac 1n \right)>\dfrac 1n -\dfrac {1}{n^2}(n \in \mathbb N^*).$$标注答案略解析由 $(2)$ 知，当 $a=-1$ 时，$$f(x)=\ln (x+1)-\dfrac {x}{x+1}$$在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，所以当 $x>0$ 时，$$f(x)>f(0)=0,$$即$$\ln (x+1)>\dfrac {x}{x+1}.$$令 $x=\dfrac 1n$（$n \in \mathbb N^*$），则$$\ln \left(1+\dfrac 1n\right)>\dfrac {\dfrac 1n}{\dfrac 1n +1}=\dfrac {1}{n+1}.$$另一方面，因为 $\dfrac {1}{n(n+1)}<\dfrac {1}{n^2}$，即$$\dfrac 1n-\dfrac {1}{n+1}<\dfrac {1}{n^2},$$所以$$\ln \left(1+\dfrac 1n\right)>\dfrac 1n-\dfrac {1}{n^2}(n \in \mathbb N^*).$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
