已知动点 $A$，$B$ 在椭圆 $\dfrac {x^2}{8}+\dfrac {y^2}{4}=1$ 上，且线段 $AB$ 的垂直平分线始终过点 $P(-1,0)$．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛江苏省复赛（一试）
【标注】
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求线段 $AB$ 中点 $M$ 的轨迹方程；标注答案$x=-2,-\sqrt 2<y<\sqrt 2$解析设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，线段 $AB$ 的中点 $M(x_0,y_0)$．
当 $AB$ 与 $x$ 轴垂直时，线段 $AB$ 的中点 $M$ 的坐标为 $(-2,0)$．
当 $AB$ 与 $x$ 轴不垂直时，因为 $A$，$B$ 在椭圆 上，所以$$\dfrac {x_1^2}{8}+\dfrac {y_1^2}{4}=1,\dfrac {x_2^2}{8}+\dfrac {y_2^2}{4}=1,$$从而$$\dfrac {(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{8}+\dfrac {(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{4}=0,$$即$$\dfrac {y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\dfrac {x_0}{2y_0}.$$因为线段 $AB$ 的垂直平分线始终过点 $P(-1,0)$，所以$$\dfrac {y_1-y_2}{x_1-x_2} \times \dfrac {y_0}{x_0+1}=-1,$$从而 $x_0=-2$．
故线段 $AB$ 中点 $M$ 的轨迹方程为$$x=-2,-\sqrt 2<y<\sqrt 2.$$ -
求线段 $AB$ 长度的最大值．标注答案$2\sqrt 2$解析当 $AB$ 与 $x$ 轴垂直时，$AB=2\sqrt 2$．
当 $AB$ 与 $x$ 轴不垂直时，由 $(1)$ 知，直线 $AB$ 的方程为$$y-y_0=\dfrac {1}{y_0}(x+2).$$由$$\begin{cases}y-y_0=\dfrac {1}{y_0}(x+2),\\\dfrac {x^2}{8}+\dfrac {y^2}{4}=1,\end{cases}$$得$$(y_0^2+2)x^2+4(y_0^2+2)x+2y_0^4+8=0,$$所以$$x_1+x_2=-4,x_1x_2=\dfrac {2y_0^4+8}{y_0^2+2},$$从而$$AB=2\sqrt 2 \sqrt {-\left[(y_0^2+2)+\dfrac {4}{y_0^2+2}\right]+5},$$其中 $-\sqrt 2<y_0<\sqrt 2$，且 $y_0\neq 0$，所以$$AB <2\sqrt 2.$$因此线段 $AB$ 长度的最大值为 $2\sqrt 2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
