2014年全国高中数学联赛江苏省复赛（二试）

略

① 证明任给一个正整数 $k$ 存在一个正整数 $n$，使得 $\cos n >1-\dfrac 1k$．
取一正整数 $M$，使得$$\cos \dfrac {2\pi}{M}>1-\dfrac 1k.$$令 $\alpha =\dfrac {1}{2\pi}$，则 $\alpha$ 为无理数．
考虑以下 $M+1$ 个数：$\{\alpha\}$，$\{2\alpha\}$，$\cdots$，$\{M\alpha\}$，$\{(M+1)\alpha\}$（$\{x\}=x-[x]$，$[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数）．
将区间 $[0,1)$ 分成 $M$ 个小区间：$\left[0,\dfrac {1}{M}\right)$，$\left[\dfrac {1}{M},\dfrac {2}{M}\right)$，$\cdots$，$\left[ \dfrac {M-1}{M},1\right)$，由抽屉原理可知，一定存在 $1 \leqslant i<j \leqslant M+1$，使得 $\{i\alpha\}$，$\{j\alpha\}$ 在同一个小区间，因此，$$|\{j\alpha\}-\{i\alpha\}|<\dfrac 1M,$$从而$$|n\alpha-([j\alpha]-[i\alpha])|<\dfrac 1M,$$其中 $n=j-i$，$1 \leqslant n \leqslant M$．
因此\[\begin{split}\cos n&=\cos \left(2\pi \cdot \dfrac {n}{2\pi}\right)=\cos (2\pi n\alpha)\\&=\cos [2\pi\cdot |n\alpha-([j\alpha]-[i\alpha])|]\\&=\cos [2\pi\cdot |\{j\alpha\}-\{i\alpha\}|]\\&>\cos \dfrac {2\pi}{M}>1-\dfrac 1k.\end{split}\]② 证明有无穷多正整数 $n$，使得 $\cos n >\dfrac {2014}{2015}$．
我们用反证法来证明上述结论．
假设只有有限个正整数 $n$，使得 $\cos n >\dfrac {2014}{2015}$，则可以设使 $\cos n >\dfrac {2014}{2015}$ 成立的正整数 $n$ 的个数为 $t$．
不妨设这 $t$ 个正整数为 $n_1$，$n_2$，$\cdots $，$n_t$，并且满足$$1>\cos n_t<\cos n_{t-1}>\cdots >\cos n_2>\cos n_1>\dfrac {2014}{2015}=1-\dfrac {1}{2015}.$$取正整数 $k_1$ 满足$$1-\dfrac {1}{k_1}>\cos n_t,$$由 $(1)$ 可知存在正整数 $n$ 使得$$\cos n >1-\dfrac 1{k_1}>\dfrac {2014}{2015}.$$这与使 $\cos n >\dfrac {2014}{2015}$ 成立的正整数 $n$ 的个数为 $t$ 矛盾．
因此存在无穷多个正整数 $n$，使得 $\cos n >\dfrac {2014}{2015}$．