设 $T_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项之积，满足 $T_n=1-a_n,n\in\mathbb N^*$．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
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求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=\dfrac{n}{n+1}$解析容易知道$$T_1=a_1=\dfrac12,T_n\ne0,a_n\ne1,$$且由$$T_{n+1}=1-a_{n+1},T_n=1-a_n,$$得$$a_{n+1}=\dfrac{T_{n+1}}{T_n}=\dfrac{1-a_{n+1}}{1-a_n},$$即$$\dfrac{1}{1-a_{n+1}}-\dfrac{1}{1-a_n}=1,$$所以$$\dfrac{1}{1-a_n}=\dfrac{1}{1-a_1}+n-1=n+1,$$故 $a_n=\dfrac{n}{n+1}$．
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设 $S_n=T_1^2+T_2^2+\cdots+T_n^2$，求证：$$a_{n+1}-\dfrac12<S_n<a_{n+1}-\dfrac13.$$标注答案略解析由 $(1)$ 得$$T_n=a_1a_2\cdots a_n=\dfrac{1}{n+1},$$一方面，\[\begin{split}S_n&=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{(n+1)^2}\\&>\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4}+\cdots+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\\&=\dfrac12-\dfrac{1}{n+2}\\&=a_{n+1}-\dfrac12.\end{split}\]另一方面，\[\begin{split}S_n&<\dfrac{1}{2^2-\frac14}+\dfrac{1}{3^2-\frac14}+\cdots+\dfrac{1}{(n+1)^2-\frac14}\\&=\dfrac{1}{\frac32\cdot\frac52}+\dfrac{1}{\frac52\cdot\frac72}+\cdots+\dfrac{1}{\left(n+\frac12\right)\left(n+\frac32\right)}\\&=\dfrac23-\dfrac{1}{n+\frac23},\end{split}\]又因为$$\dfrac23-\dfrac{1}{n+\frac23}<\dfrac23-\dfrac{1}{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}-\dfrac13=a_{n+1}-\dfrac13,$$所以 $a_{n+1}-\dfrac12<S_n<a_{n+1}-\dfrac13$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
