单调递增区间为 $\left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right]$；单调递减区间为 $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 和 $\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right]$

由于 $f(x)=\mathrm{e}^{-x}\sin x+ax$，求导得$$g(x)=f'(x)=a-\mathrm{e}^{-x}(\sin x-\cos x).$$对 $g(x)$ 求导，得$$g'(x)=-2\mathrm{e}^{-x}\cos x,$$由 $g'(x)=0$，知 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 或 $x=\dfrac{3\pi}{2}$．
令 $g'(x)<0$，解得 $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ 或 $\dfrac{3\pi}{2}<x<2\pi$；
令 $g'(x)>0$，解得 $\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{3\pi}{2}$．
因此函数 $g(x)$ 在 $[0,2\pi]$ 上的单调递增区间为 $\left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right]$；单调递减区间为 $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 和 $\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right]$．

$\left(-\mathrm{e}^{-2\pi},\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2}}\right)$

由 $(1)$ 知 $g(x)$ 在 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 处取得极小值，在 $x=\dfrac{3\pi}{2}$ 处取得极大值．
结合$$g(0)=a+1,g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=a-\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2}},g\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=a+\mathrm{e}^{-\frac{3\pi}{2}},g(2\pi)=a+\mathrm{e}^{-2\pi},$$显然$$g(0)>g\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)>g(2\pi)>g\left(\dfrac{\pi}{2}\right).$$若 $g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\geqslant0$，则 $f'(x)\geqslant0$，故 $f(x)$ 在 $(0,2\pi)$ 内单调递增，从而 $f(x)$ 在 $(0,2\pi)$ 内无极值，矛盾，因此$$g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)<0.$$若 $g(2\pi)\leqslant0$，当 $g\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\leqslant0$ 时，$f(x)$ 在 $(0,2\pi)$ 内至多有一个极值点，矛盾．
当 $g\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)>0$ 时，$f(x)$ 在 $(0,2\pi)$ 内至少有 $3$ 个极值点，矛盾，所以$$g(2\pi)>0.$$另一方面，当 $g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)<0$ 且 $g(2\pi)>0$ 时，$f'(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 与 $\left(\dfrac{\pi}{2},2\pi\right)$ 内各有一个极值点．
因此 $f(x)$ 在 $(0,2\pi)$ 的极大值，极小值恰好各有一个的充要条件是$$\begin{cases}g(2\pi)=a+\mathrm{e}^{-2\pi}>0,\\g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=a-\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2}}<0,\end{cases}$$解得 $-\mathrm{e}^{-2\pi}<a<\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2}}$，故实数 $a$ 的取值范围是 $(-\mathrm{e}^{-2\pi},\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2}})$．