略

因为 $AB = AD$，$O$ 为 $BD$ 的中点，所以 $AO \perp BD$．
又因为$$\text {平面} ABD \perp\text{ 平面 }BCD,\text { 平面} ABD \cap\text{ 平面 }BCD = BD,$$所以 $AO \perp$ 平面 $BCD$．

$\dfrac {6\sqrt{41}}{41}$

取 $DC$ 的中点 $M$，连结 $OM$，则 $OM \parallel BC$．
由图1可知，$$BD = BC = \sqrt 2, DC = 2,$$所以 $BC \perp BD$，从而 $OM \perp BD$．
由第 $(1)$ 小题知，$AO \perp$ 平面 $BCD$，因此 $OA$，$OM$，$BD$ 两两垂直，分别以射线 $OD$，$OM$，$OA$ 为 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系．
读取各点的坐标$$O(0, 0, 0), G\left(\dfrac{\sqrt 2}{4}, 0,\dfrac{\sqrt 2}{4}\right), A\left(0, 0,\dfrac{\sqrt 2}{2}\right), B\left(-\dfrac{\sqrt 2}{2}, 0, 0,\right), C\left(-\dfrac{\sqrt 2}{2}, \sqrt 2, 0,\right).$$因为 $AH=2HC$，所以 $H\left(-\dfrac{\sqrt 2}{3}, \dfrac{2\sqrt 2}{3}, \dfrac{\sqrt 2}{6},\right)$．
设平面 $GHB$ 的法向量为 $\overrightarrow n = (x, y, z)$，则$$\begin{cases}\overrightarrow{GB}\cdot \overrightarrow n = 0, \\ \overrightarrow{GH}\cdot \overrightarrow n = 0,\end{cases}$$故有\[\begin{cases}3x + z = 0, \\ -7x + 8y - z = 0.\end{cases}\]取 $x=1$，则 $\overrightarrow n = \left(1, \dfrac 1 2, -3\right)$．
由 $(1)$ 知，$\overrightarrow{OA}=\left(0, 0,\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)$ 是平面 $BCD$ 的法向量，所以平面 $GHB$ 与平面 $BCD$ 所成锐二面角的余弦值为\[\cos \theta = \left| \cos \left\langle\overrightarrow n,\overrightarrow{OA}\right\rangle\right| = \dfrac {6\sqrt{41}}{41}.\]

不存在，理由略

假设在线段 $BC$ 上存在点 $E$，使得 $DE \parallel$ 平面 $GBH$，设\[\overrightarrow{BE} = \lambda \overrightarrow{BC}(0<\lambda \leqslant 1),\]所以 $E\left(-\dfrac{\sqrt 2}{2}, \sqrt 2 \lambda, 0\right)$．
又 $D\left(\dfrac{\sqrt 2}{2}, 0, 0\right)$，所以\[\begin{split}\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow n &=\left(-\sqrt 2, \sqrt 2 \lambda, 0,\right)\cdot \left(1, \dfrac 1 2, -3\right)\\ &=\dfrac{\sqrt 2}{2} \lambda - \sqrt 2 =0,\end{split}\]因此 $\lambda = 2$，这与 $0<\lambda \leqslant 1$ 矛盾．
因此在线段 $BC$ 上不存在点 $E$，使得 $DE \parallel$ 平面 $GBH$．