已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac12$，$a_n=2a_na_{n+1}+3a_{n+1}(n\in\mathbb N^*)$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
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求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=\dfrac{1}{3^n-1}(n\in\mathbb N^*)$解析若存在 $a_l=0(l\in\mathbb N^*)$，则由$$a_{n-1}=2a_{n-1}a_n+3a_n,$$得 $a_{l-1}=0$．
以此类推$$a_{l-2}=0,a_{l-3}=0,\cdots,a_1=0,$$这与 $a_1=\dfrac12$ 矛盾，故 $a_n\ne0(n\in\mathbb N^*)$．
由 $a_n=2a_na_{n+1}+3a_{n+1}$，得$$\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{3}{a_n}=2,$$即$$\dfrac{1}{a_{n+1}}+1=3\left(\dfrac{1}{a_n}+1\right),$$所以 $\left\{\dfrac{1}{a_n}+1\right\}$ 是首项为 $3$，公比为 $3$ 的等比数列，故$$\dfrac{1}{a_n}+1=3^n,$$因此通项公式$$a_n=\dfrac{1}{3^n-1}(n\in\mathbb N^*).$$ -
若数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n=1+\dfrac{1}{a_n}(b\in\mathbb N^*)$，且对任意正整数 $n(n\geqslant2)$，不等式 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{n+\log_3 b_k}}>\dfrac{m}{24}$ 恒成立，求整数 $m$ 的最大值．标注答案$13$解析由 $(1)$ 得$$b_n=1+\dfrac{1}{a_n}=3^n,$$从而$$\log_3b_k=k(k=1,2,\cdots),$$于是不等式$$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{n+\log_3b_k}>\dfrac{m}{24}}$$等价于$$\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{n+n}>\dfrac{m}{24}.$$令 $f(n)=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{n+n}$，则$$f(n+1)-f(n)=\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n+2}>0,$$所以 $f(n)$ 单调递增，故$$f(n)_{\min}=f(2)=\dfrac{7}{12},$$于是 $\dfrac{7}{12}>\dfrac{m}{24}$，即 $m<14$．
故整数 $m$ 的最大值为 $13$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
