设圆 $O_4$ 与 $O_1$，圆 $O_1$ 与 $O_2$，圆 $O_2$ 与 $O_3$，圆 $O_3$ 与 $O_4$ 分别外切于 $P_1,P_2,P_3,P_4$，试证：
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛浙江省预赛（二试）
【标注】
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$P_1,P_2,P_3,P_4$ 四点共圆；标注答案略解析根据弦切角等于圆心角的一半，得\[\begin{split}&\angle P_1P_2P_3=\dfrac12(\angle O_4O_1O_2+\angle O_1O_2O_3),\\&\angle P_3P_4P_1=\dfrac12(\angle O_2O_3O_4+\angle O_3O_4O_1),\end{split}\]所以$$\begin{split}&\angle P_1P_2P_3+\angle P_3P_4P_1\\=&\dfrac12(\angle O_4O_1O_2+\angle O_1O_2O_3+\angle O_2O_3O_4+\angle O_3O_4O_1)\\=&\pi.\end{split}$$这表明 $P_1,P_2,P_3,P_4$ 四点共圆．
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四边形 $O_1O_2O_3O_4$ 是某个圆的外切四边形；并且标注答案略解析因为\[\begin{split}O_4O_1+O_2O_3&=(O_4P_1+O_1P_1)+(O_3P_3+O_2P_3)\\&=(O_4P_4+O_1P_2)+(O_3P_4+O_2P_2)\\&=(O_4P_4+O_3P_4)+(O_1P_2+O_2P_2)\\&=O_3O_4+O_1O_2,\end{split}\]所以四边形 $O_1O_2O_3O_4$ 是某个圆的外切四边形．
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该圆的半径不超过四边形 $P_1P_2P_3P_4$ 的外接圆的半径．标注答案略解析由 $(1)$ $(2)$ 知，四边形 $P_1P_2P_3P_4$ 的四条边的垂直平分线交于一点 $O$，$O$ 也是四边形 $O_1O_2O_3O_4$ 的内角平分线．
又因四边形 $O_1O_2O_3O_4$ 的内切圆的半径是点 $O$ 到边 $O_4O_1$ 的距离，而四边形 $P_1P_2P_3P_4$ 的外接圆的半径是 $OP_1$，且 $P_1\in O_4O_1$．
因此结论成立．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
