题目 已知函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{a(x-1)}{x+1}$． 问题1 若函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为单调增函数，求 $a$ 的取值范围； 答案1 $(-\infty,2]$ 解析1 对原函数求导得$$\begin{split}f'(x)&=\dfrac{1}{x}-\dfrac{a(x+1)-a(x-1)}{(x+1)^2}\\&=\dfrac{x^2+(2-2a)x+1}{x(x+1)^2}.\end{split}$$因为 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为单调增函数，所以 $f'(x)\geqslant0$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立，即$$x^2+(2-2a)x+1\geqslant0,$$在 $(0,+\infty)$ 上恒成立．<br/>当 $x\in(0,+\infty)$ 时，由 $x^2+(2-2a)x+1\geqslant0$，得$$2a-2\leqslant x+\dfrac1x.$$设 $g(x)=x+\dfrac1x,x>0$，则$$g(x)=x+\dfrac1x\geqslant2\sqrt{x\cdot\dfrac1x}=2,$$所以，当且仅当 $x=\dfrac1x$，即 $x=1$ 时，$g(x)$ 有最小值为 $2$，于是$$2a-2\leqslant2,$$即 $a\leqslant2$．<br/>故 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,2]$． 备注1 问题2 设 $m>n>0$，求证：$\ln m-\ln n>\dfrac{2(m-n)}{m+n}$． 答案2 略 解析2 要证$$\ln m-\ln n>\dfrac{2(m-n)}{m+n},$$只需证$$\ln\dfrac{m}{n}-\dfrac{2\left(\frac{m}{n}-1\right)}{\frac{m}{n}+1}>0.$$设 $h(x)=\ln x-\dfrac{2(x-1)}{x+1}$，由 $(1)$ 知 $h(x)$ 单调递增．<br/>由题意得 $\dfrac{m}{n}>1$，所以$$h\left(\dfrac{m}{n}\right)>h(1)=0,$$故欲证命题成立． 备注2