已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左右焦点 $F_1,F_2$ 与椭圆短轴的一个端点构成边长为 $4$ 的正三角形．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
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求椭圆 $C$ 的标准方程；标注答案$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$解析依题意，$$2c=a=4,$$所以椭圆 $C$ 的方程为$$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1.$$
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过椭圆 $C$ 上任意一点 $P$ 作椭圆 $C$ 的切线与直线 $F_1P$ 的垂线 $F_1M$ 相交于点 $M$，求点 $M$ 的轨迹方程；标注答案$x=-8$解析由 $(1)$ 得 $F_1(-2,0)$．
设 $P(x_0,y_0),M(x,y)$，则过椭圆 $C$ 上一点 $P$ 的切线方程为$$\dfrac{x_0x}{16}+\dfrac{y_0y}{12}=1\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$因为直线 $F_1P$ 的斜率$$k_{F_1P}=\dfrac{y_0}{x_0+2},$$所以直线 $MF_1$ 的斜率$$k_{MF_1}=-\dfrac{x_0+2}{y_0},$$于是直线 $MF_1$ 的方程为$$y_0y=-(x_0+2)(x+2)\qquad\cdots\cdots\text{ ② }$$联立 $\text{ ①② }$，解得 $x=-8$．
因此点 $M$ 的轨迹方程为 $x=-8$． -
若切线 $MP$ 与直线 $x=-2$ 交于点 $N$，求证：$\dfrac{|NF_1|}{|MF_1|}$ 为定值．标注答案略解析依题意及 $(2)$，点 $M,N$ 的坐标可表示为 $M(-8,y_M),N(-2,y_N)$．
因为点 $N$ 在切线 $MP$ 上，点 $M$ 在直线 $MF_1$ 上，所以$$y_N=\dfrac{3(x_0+8)}{2y_0},y_M=\dfrac{6(x_0+2)}{y_0},$$于是有\[\begin{split}&|NF_1|^2=y_N^2=\dfrac{9(x_0+8)^2}{4y_0^2},\\&|MF_1|^2=6^2+y_M^2=\dfrac{36[y_0^2+(x_0+2)^2]}{y_0^2},\end{split}\]因此可得到$$\dfrac{|NF_1|^2}{|MF_1|^2}=\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{(x_0+8)^2}{y_0^2+(x_0+2)^2}\qquad\cdots\cdots\text{ ③ }$$注意到点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，从而有$$\dfrac{x_0^2}{16}+\dfrac{y_0^2}{12}=1,$$代入 $\text{ ③ }$，整理得$$\dfrac{|NF_1|^2}{|MF_1|^2}=\dfrac14.$$因此，$\dfrac{|NF_1|}{|MF_1|}$ 为定值 $\dfrac12$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
