已知抛物线 $C:y=\dfrac 12 x^2$ 与直线 $l:y=kx-1$ 没有公共点，设点 $P$ 为直线 $l$ 上的动点，过 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线，$A,B$ 为切点．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
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证明：直线 $AB$ 恒过定点 $Q$；标注答案略解析设 $A(x_1,y_1)$，则$$y_1=\dfrac 12 x_1^2.$$由 $y=\dfrac 12 x^2$ 得 $y'=x$，所以$$y'|_{x=x_1}=x_1,$$于是抛物线 $C$ 在 $A$ 点处的切线方程为$$y-y_1=x_1(x-x_1),$$即$$y=x_1x-y_1.$$设 $P(x_0,kx_0-1)$，则有$$kx_0-1=x_0x_1-y_1,$$设 $B(x_2,y_2)$，同理有$$kx_0-1=x_0x_2-y_2.$$因此 $AB$ 的方程为$$kx_0-1=x_0x-y,$$即$$x_0(x-k)-(y-1)=0,$$所以直线 $AB$ 恒过定点 $Q(k,1)$．
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若点 $P$ 与 $(1)$ 中的定点 $Q$ 的连线交抛物线 $C$ 于 $M,N$ 两点，证明：$\dfrac{|PM|}{|PN|}=\dfrac{|QM|}{|QN|}$．标注答案符合题意解析$PQ$ 的方程为$$y=\dfrac{kx_0-2}{x_0-k}(x-k)+1,$$与抛物线方程联立得$$x^2-\dfrac{2kx_0-4}{x_0-k}x+\dfrac{(2k^2-2)x_0-2k}{x_0-k}=0.$$设 $M(x_3,y_3),N(x_4,y_4)$，则$$\begin{cases}x_3+x_4=\dfrac{2kx_0-4}{x_0-k},\\ x_3x_4=\dfrac{(2k^2-2)x_0-2k}{x_0-k},\end{cases}$$要证$$\dfrac{|PM|}{|PN|}=\dfrac{|QM|}{|QN|},$$只需证明$$\dfrac{x_3-x_0}{x_4-x_0}=\dfrac{k-x_3}{x_4-k},$$即$$2x_3x_4-(k+x_0)(x_3+x_4)+2kx_0=0.$$结合韦达定理，有\[\begin{split}\text{上式左边}=&\dfrac{2(2k^2-2)x_0-4k}{x_0-k}-(k+x_0)\dfrac{2kx_0-4}{x_0-k}+2kx_0\\=&\dfrac{2(2k^2-2)x_0-4k-(k+x_0)(2kx_0-4)+2kx_0(x_0-k)}{x_0-k}\\=&0,\end{split}\]故欲证结论成立．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
