题目 已知函数 $f(x)=\log_2(a^x-b^x)$，且 $f(1)=1,f(2)=\log_2{12}$． 问题1 求 $a,b$ 的值； 答案1 $a=4,b=2$ 解析1 由已知得$$\begin{cases}f(1)=\log_2(a-b)=1,\\ f(2)=\log_2(a^2-b^2)=\log_212,\end{cases}$$解得 $a=4,b=2$． 备注1 问题2 当 $x\in[1,2]$ 时，求 $f(x)$ 的最大值． 答案2 $2+\log_23$ 解析2 由 $(1)$ 知，$$f(x)=\log_2(4^x-2^x)=\log_2\left[\left(2^x-\dfrac12\right)^2-\dfrac14\right].$$令 $u(x)=\left(2^x-\dfrac12\right)^2-\dfrac14$，结合复合函数单调性知 $u(x)$ 在 $[1,2]$ 上为增函数，所以$$\max\{u(x)\}=u(2)=\left(2^2-\dfrac12\right)^2-\dfrac14=12.$$因此 $f(x)$ 的最大值为$$\log_212=2+\log_23.$$ 备注2