$\left(0,\dfrac 72\right)$

化简得$$f(x)=\dfrac{16(x+1)-9}{4(x+1)}=4-\dfrac 94 \cdot \dfrac 1{x+1},$$所以\[\begin{split}a_{n+1}-a_n&=\left(4-\dfrac 94\cdot \dfrac 1{a_n+1}\right)-\left(4-\dfrac 94\cdot \dfrac 1{a_{n-1}+1}\right)\\&=\dfrac 94\cdot \dfrac 1{(a_n+1)(a_{n-1}+1)}(a_n-a_{n-1})\\&=\left(\dfrac 94\right)^2\cdot \dfrac 1{(a_n+1)(a_{n-1}+1)^2(a_{n-2}+1)}(a_{n-1}-a_{n-2})\\& \cdots \\&=\left(\dfrac 94\right)^{n-1}\cdot \dfrac{1}{(a_n+1)(a_{n-1}+1)^2\cdots (a_2+1)^2(a_1+1)}(a_2-a_1).\end{split}\]注意到 $a_n>0$（$n\in \mathbb N^*$），要使 $a_{n+1}>a_n$，只需 $a_2>a_1$，即$$\dfrac{16a_1+7}{4a_1+4}>a_1,$$解得 $0<a_1<\dfrac 72$．

略

当 $a_1=3$ 时，由 $(1)$ 知 $a_{n+1}>a_n$，即$$\dfrac{16a_n+7}{4a_n+4}>a_n,$$解得 $0<a_n<\dfrac 72$．
又因为 $a_1=3$，所以$$3\leqslant a_n<\dfrac 72(n\in\mathbb N^*).$$当 $b_1=4$ 时，由 $(1)$ 知 $b_{n+1}\leqslant b_n$，得$$\dfrac 72 \leqslant b_n\leqslant 4(n\in \mathbb N^*),$$所以 $b_n-a_n>0$（$n\in \mathbb N^*$），于是，\[\begin{split}b_n-a_n&=\dfrac 94 \left(\dfrac 1{a_{n-1}+1}-\dfrac 1{b_{n-1}+1}\right)\\&=\dfrac 94 \cdot \dfrac 1{(a_{n-1}+1)(b_{n-1}+1)}(b_{n-1}-a_{n-1})\\&\leqslant \dfrac 94 \cdot \dfrac 1{(3+1)\left(\dfrac 72+1\right)}(b_{n-1}-a_{n-1})\\&=\dfrac 18(b_{n-1}-a_{n-1})\\&\leqslant \dfrac 1{8^2}(b_{n-2}-a_{n-2})\\&\leqslant \cdots \\& \leqslant \dfrac 1{8^{n-1}}(b_1-a_1)\\&=\dfrac 1{8^{n-1}}.\end{split}\]综上所述，$0<b_n-a_n\leqslant \dfrac 1{8^{n-1}}$，$n=1,2,3\cdots $．