证明：对任意的 $x>0$，$y>0$，有$$\dfrac{1}{1+x}\geqslant \dfrac 1{1+y}-\dfrac 1{(1+y)^2}\cdot (x-y);$$
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为\[\begin{split}&\dfrac 1{1+y}-\dfrac 1{(1+y)^2}\cdot (x-y)\\=&\dfrac 1{1+y}-\dfrac{(1+x)-(1+y)}{(1+y)^2}\\=&-\dfrac{1+x}{(1+y)^2}+\dfrac 2{1+y}\\=&-(1+x)\left(\dfrac 1{1+y}-\dfrac 1{1+x}\right)^2+\dfrac 1{1+x}\\ \leqslant &\dfrac 1{1+x},\end{split}\]当且仅当 $x=y$ 时，上式取等号．
因此$$\dfrac 1{1+x}\geqslant \dfrac 1{1+y}-\dfrac 1{(1+y)^2}\cdot (x-y)^2.$$
因此$$\dfrac 1{1+x}\geqslant \dfrac 1{1+y}-\dfrac 1{(1+y)^2}\cdot (x-y)^2.$$
答案
解析
备注
