电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字 $1$ 或 $2$．将输出的前 $n$ 个数字之和被 $3$ 整除的概率记为 $P_n$．证明：
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
-
$P_{n+1}=\dfrac12(1-P_n)$；标注答案略解析这 $n$ 个数字共有 $2^n$ 种可能情形．
下面计算其和被 $3$ 整除的有多少种，这等于多项式$$f(x)=(x+x^2)^n$$的展开式中 $x^3,x^6,\cdots$ 等项的系数之和，进而等于$$\dfrac13(f(1)+f(\omega)+f(\overline{\omega})),$$其中 $\omega=-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}\mathrm{i}$ 为三次单位根，$\overline{\omega}$ 是其共轭复数．
不难算得上式等于$$\dfrac13(2^n+2(-1)^n).$$因此，所求的概率为$$P_n=\dfrac13\left(1+2\left(-\dfrac12\right)^n\right).$$据此，即可验证知$$P_{n+1}=\dfrac12(1-P_n).$$ -
$P_{2012}>\dfrac13$．标注答案略解析由 $(1)$ 知，$$P_n=\dfrac13\left(1+2\left(-\dfrac12\right)^n\right),$$所以立即得到$$P_{2012}>\dfrac 13.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
