• 知识点

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  微积分初步

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  利用导数研究函数的性质

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  利用导数研究函数的最值

略

① 因为$$f'(x)=12ax^2-2b.$$当 $b\leqslant 0$ 时，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增；
当 $b>0$ 时，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减或先递减后递增．
因此 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值在端点处取得，所以\[\begin{split}\max f(x)=&\max\left\{f(0),f(1)\right\}\\=&\max\{-a+b,3a-b\}\\=&a+\max \{-2a+b,2a-b\}\\=&a+|2a-b|.\end{split}\]② 由 ①，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最小值在端点处或 $x=\sqrt {\dfrac b{6a}}$（$b>0$ 且 $\sqrt {\dfrac b{6a}}\leqslant 1$ 时）处取得．
情形一 若 $f(x)$ 的最小值在端点处取得，则$$f(x)+|2a-b|+a\geqslant \min f(x)+\max f(x)=f(0)+f(1)=2a>0.$$情形二 若 $b>0$ 且 $\sqrt {\dfrac b{6a}}\leqslant 1$，即 $0<b\leqslant 6a$ 时，$f(x)$ 的最小值为$$f\left(\sqrt {\dfrac b{6a}}\right)=-\dfrac {4b}3\sqrt {\dfrac b{6a}}-a+b,$$所以$$\begin{split}f(x)+|2a-b|+a\\&\geqslant -\dfrac {4b}3\sqrt {\dfrac b{6a}}-a+b+|2a-b|+a\\&=-\dfrac {4b}3\sqrt {\dfrac b{6a}}+b+|2a-b|.\end{split}$$当 $0<b\leqslant 2a$ 时，有$$\begin{split}RHS&\geqslant -\dfrac {4b}3\cdot \sqrt {\dfrac {2a}{6a}}+b+2a-b\\&=2a-\dfrac {4b}{3\sqrt 3}\\&\geqslant \left(1-\dfrac 4{3\sqrt 3}\right)b>0.\end{split}$$当 $2a<b\leqslant 6a$ 时，$$\begin{split}RHS&\geqslant -\dfrac {4b}3\sqrt {\dfrac b{6a}}+2b-2a\\&=2a\left[-\dfrac 2{3\sqrt 6}\cdot \left(\sqrt {\dfrac ba}\right)^3+\left(\sqrt {\dfrac ba}\right)^2-1\right].\end{split}$$令 $g(x)=-\dfrac 2{3\sqrt 6}\cdot x^3+x^2-1(2<x\leqslant 3)$，则$$g'(x)=-\dfrac 2{\sqrt 6}x^2+2x,$$所以当 $x=\sqrt 6$ 时，$g(x)$ 取得最大值 $1$．
因此上式右边 $\geqslant 2a>0$．
综上，原命题成立．

• 题型

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  不等式

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  恒成立与存在性问题
• 方法

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  数形结合

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  不等式(组)的规划
• 知识点

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  微积分初步

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  利用导数研究函数的性质

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  利用导数研究函数的最值

$[-1,3]$

根据 $(1)$ 知，$f(x)$ 的最大值为 $|2a-b|+a$，所以$$f(x)\leqslant |2a-b|+a\leqslant 1.$$在此条件下，由 $(1)$，$$f(x)\geqslant -(|2a-b|+a)\geqslant -1,$$因此 $|2a-b|+a\leqslant 1$ 是 $-1\leqslant f(x)\leqslant 1$ 的充要条件．
由$$|2a-b|+a\leqslant 1,$$得$$a-1\leqslant 2a-b\leqslant 1-a,$$即$$3a-1\leqslant b\leqslant a+1,$$由线性规划得 $a+b$ 的取值范围为 $[-1,3]$．