题目 在 $\triangle{ABC}$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，且满足 $(2a-c)\cos B=b\cos C$，$\sin^2 A=\sin^2 B+\sin ^2 C-\lambda \sin B \sin C$（$\lambda \in \mathbb R$）． 问题1 求角 $B$ 的大小； 答案1 $\dfrac{\pi}{3}$ 解析1 因为 $(2a-c)\cos B=b\cos C$，由正弦定理得$$(2\sin A -\sin C)\cos B=\sin B\cos C,$$即$$2\sin A\cos B=\sin C\cos B+\sin B\cos C.$$因为 $A+B+C=\pi$，$0<A<\pi$，所以$$2\sin A\cos B=\sin(B+C)=\sin A,$$故 $\cos B=\dfrac 12$．<br/>又因为 $0<B<\pi$，所以 $B=\dfrac{\pi}{3}$． 备注1 问题2 若 $\lambda =\sqrt 3$，试判断 $\triangle{ABC}$ 的形状； 答案2 直角三角形 解析2 因为$$\sin^2A=\sin^2B+\sin^2C-\lambda \sin B\sin C(\lambda \in \mathbb R),$$由正弦定理得$$a^2=b^2+c^2-\lambda bc,$$所以$$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{\lambda bc}{2bc}=\dfrac{\lambda}{2}.$$若 $\lambda =\sqrt 3$，因为 $0<A<\pi$，所以 $A=\dfrac{\pi}{6}$．<br/>又因为 $B=\dfrac{\pi}{3}$，所以 $C=\dfrac{\pi}{2}$，故 $\triangle{ABC}$ 为以角 $C$ 为直角的直角三角形． 备注2 问题3 若 $\triangle{ABC}$ 为钝角三角形，求实数 $\lambda$ 的取值范围． 答案3 $(-1,0)\cup(\sqrt 3,2)$ 解析3 若 $\triangle{ABC}$ 为钝角三角形，又因为 $B=\dfrac{\pi}{3}$，所以$$\dfrac{\pi}{2}<A<\dfrac{2\pi}{3}\lor 0<A<\dfrac{\pi}{6},$$故$$-\dfrac 12 <\cos A<0\lor \dfrac{\sqrt 3}{2}<\cos A<1.$$由 $(2)$ 中的推理得，$\cos A=\dfrac{\lambda}{2}$，所以$$-\dfrac 12 <\dfrac{\lambda}{2}<0\lor \dfrac{\sqrt 3}{2}<\dfrac{\lambda}{2}<1,$$故实数 $\lambda $ 的取值范围为 $(-1,0)\cup(\sqrt 3,2)$． 备注3