题目 已知函数 $f(x)=ax^{2}-ax-x\ln x$，且 $f(x)\geqslant 0$． 问题1 求 $a$； 答案1 $1$ 解析1 $f(x)\geqslant 0$ 等价于$$a(x-1)-\ln x\geqslant 0.$$记左边的函数为 $\varphi(x)$：<br/><case>情形一</case> $a\leqslant 0$．此时 $\varphi(2)<0$，不符合题意；<br/><case>情形二</case> $0<a<1$．此时有$$\varphi'(x)=a-\dfrac 1x=\dfrac {ax-1}x,$$则在 $\left(1,\dfrac 1a\right)$ 上，$\varphi'(x)<0$，而 $\varphi(1)=0$，所以$$\varphi(x)<\varphi(1)=0,$$不符合题意；<br/><case>情形三</case> $a=1$．此时 $\ln x\leqslant x-1$，符合题意；<br/><case>情形四</case> $a>1$．此时在 $\left(\dfrac 1a,1\right)$ 上，$\varphi'(x)>0$，而 $\varphi(1)=0$，所以$$\varphi(x)<\varphi(1)=0,$$矛盾；<br/>综上所述，$a$ 的值为 $1$． 备注1 问题2 证明：$f(x)$ 存在唯一的极大值点 $x_{0}$，且 ${\rm e}^{-2}<f(x_{0})<2^{-2}$． 答案2 略 解析2 由第 $(1)$ 小问知 $f(x)=x^2-x-x\ln x$，对 $f(x)$ 求导得$$f'(x)=2x-2-\ln x,f''(x)=2-\dfrac 1x,$$所以 $f'(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 12\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$ 上单调递增．而\[\begin{split}f'\left({\rm e}^{-2}\right)&=2{\rm e}^{-2}>0,\\<br/>f'\left(\dfrac 12\right)&=\ln 2-1<0,\end{split}\]因此函数 $f'(x)$ 在 $\left({\rm e}^{-2},\dfrac 12\right)$ 上存在唯一零点 $x_0$，且函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极大值．<br/>一方面，$f(x)$ 在 $({\rm e}^{-2},x_0)$ 上单调递增，从而有$$f(x_0)>f({\rm e}^{-2})={\rm e}^{-2}+{\rm e}^{-4}>{\rm e}^{-2}.$$另一方面，因为 $2x_0-2-\ln x_0=0$，且 $x_0<\dfrac 12$，所以$$f(x_0)=x_0^2-x_0-x_0(2x_0-2)=-x_0^2+x_0<\dfrac 14.$$综上所述，原命题得证． 备注2