题目 已知数列 $\{x_n\}$ 满足：$x_1=1$，$x_n=x_{n+1}+\ln (1+x_{n+1})$（$n\in\mathbb N^*$）．证明：当 $n\in\mathbb N^*$ 时， 问题1 $0<x_{n+1}<x_n$； 答案1 略 解析1 先证明 $x_n>0,n\in\mathbb N^*$，用数学归纳法．当 $n=1$ 时，命题显然成立．设当 $n=k$，$k\in\mathbb N^*$ 时命题成立，即 $x_k>0$，则考虑到函数\[f(x)=x+\ln(1+x)\]是单调递增函数，且有 $f(0)=0,x_n=f(x_{n+1})$，所以$$f(0)<x_k=f(x_{k+1})<x_k+\ln(1+x_k)=f(x_k),$$由单调性知 $0<x_{k+1}<x_k$，因此命题对 $n=k+1$ 也成立，且 $0<x_{n+1}<f(x_{n+1})=x_n$． 备注1 问题2 $2x_{n+1}-x_n\leqslant \dfrac{x_nx_{n+1}}2$； 答案2 略 解析2 即证明\[x_n\geqslant \dfrac{2x_{n+1}}{1+\dfrac 12x_{n+1}},\]也即\[x_{n+1}+\ln (1+x_{n+1})\geqslant \dfrac{4x_{n+1}}{2+x_{n+1}},\]等价于\[\ln(1+x_{n+1})\geqslant \dfrac{2x_{n+1}-x_{n+1}^2}{2+x_{n+1}}.\]我们熟知当 $x>0$ 时，有\[\ln(1+x)>\dfrac{2x}{2+x},\]因此\[\ln(1+x_{n+1})>\dfrac{2x_{n+1}}{2+x_{n+1}}>\dfrac{2x_{n+1}-x_{n+1}^2}{2+x_{n+1}},\]原命题得证． 备注2 问题3 $\dfrac{1}{2^{n-1}}\leqslant x_n\leqslant \dfrac{1}{2^{n-2}}$． 答案3 略 解析3 我们熟知 $\ln x\leqslant x-1$，因此有\[x_n=x_{n+1}+\ln(1+x_{n+1})\leqslant 2x_{n+1},\]于是\[\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\geqslant \dfrac 12,\]这样就有\[\dfrac{x_n}{x_1}=\prod_{k=1}^{n-1}\dfrac{x_{k+1}}{x_k}\geqslant \left(\dfrac 12\right)^{n-1},\]左边不等式成立．<br/>根据第 $(2)$ 小题结论，我们有\[\dfrac{2}{x_n}-\dfrac{1}{x_{n+1}}\leqslant \dfrac 12,\]考虑不动点，有\[\dfrac{\dfrac{1}{x_{n+1}}-\dfrac 12}{\dfrac 1{x_n}-\dfrac 12}\geqslant 2,\]因此可得\[\dfrac{1}{x_n}-\dfrac 12\geqslant 2^{n-2},\]从而\[x_n\leqslant \dfrac{1}{2^{n-2}+\dfrac 12}\leqslant \dfrac{1}{2^{n-2}},\]右边不等式成立．<br/>综上所述，原命题得证． 备注3