题目 设定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足：对于任意的 $x_1,x_2\in\mathbb R$，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)\leqslant f(x_2)$． 问题1 若 $f(x)=ax^3+1$，求 $a$ 的取值范围； 答案1 $[0,+\infty)$ 解析1 根据题意，对函数 $f(x)=ax^3+1$ 而言，不等式 $f(x_1)\leqslant f(x_2)$ 等价于\[ax_1^3+1\leqslant ax_2^3+1,\]即\[a(x_1-x_2)\left[\left(x_1+\dfrac 12x_2\right)^2+\dfrac 34x_2^2\right]\leqslant 0,\]也即 $a\geqslant 0$．因此 $a$ 的取值范围是 $[0,+\infty)$． 备注1 问题2 若 $f(x)$ 是周期函数，证明：$f(x)$ 是常值函数； 答案2 略 解析2 设 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的函数，则 $\forall x\in \mathbb R,f(x+T)=f(x)$．由于 $f(0)=f(T)$，于是对任意 $x\in (0,T)$，都有\[f(0)\leqslant f(x)\leqslant f(T)=f(0),\]于是函数 $f(x)$ 在一个周期 $[0,T)$ 内为常值．因此函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上是常值函数． 备注2 问题3 设 $f(x)$ 恒大于零，$g(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的、恒大于零的周期函数，$M$ 是 $g(x)$ 的最大值．函数 $h(x)=f(x)g(x)$．证明：$h(x)$ 是周期函数的充要条件是 $f(x)$ 是常值函数． 答案3 略 解析3 充分性显然，下面用反证法证明必要性．若 $f(x)$ 不是常值函数，那么根据第 $(2)$ 小题的结果，$f(x)$ 必然不是周期函数．设 $g(x)$ 的周期为 $T$（$T>0$），则必然存在实数 $x_0$ 使得$$f(x_0+T)>f(x_0),$$否则 $f(x)$ 是周期为 $|T|$ 的函数，矛盾．于是当 $x<x_0$ 时，有\[h(x)=f(x)g(x)\leqslant f(x_0)\cdot M.\]且存在 $x_1>x_0+T$，有 $g(x_1)=M$，从而\[h(x_1)=f(x_1)g(x_1)\geqslant f(x_0+T)\cdot M.\]由于函数 $h(x)$ 为周期函数，设其周期为 $T'$，因此必然存在正整数 $k$，使得\[x_1-k\cdot |T'|<x_0,\]从而有\[h(x_1-k\cdot |T'|)=h(x_1)\leqslant f(x_0)\cdot M<f(x_0+T)\cdot M\leqslant h(x_1),\]矛盾．<br/>综上，原命题得证． 备注3