求函数 $y=\left[\sin \left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)-\sin \left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)\right]\sin \left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)$ 的最大值，并求取得最大值时 $x$ 值的集合．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
【答案】
$\left\{x\bigg | x=k\pi+\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb Z\right\}$
【解析】
\[\begin{split}y&=\left[\sin \left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)-\sin \left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)\right]\sin \left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)\\&=\sqrt 2\sin x\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}\cos x+\dfrac{1}{2}\sin x\right)\\&=\dfrac{\sqrt 6}{2}\sin x\cos x+\dfrac{\sqrt 2}{2}\sin^{2}x\\&=\dfrac{\sqrt 6}{4}\sin 2x+\dfrac{\sqrt 2}{2}\sin ^{2}x\\&=\dfrac{\sqrt 6}{4}\sin 2x+\dfrac{\sqrt 2}{4}(1-\cos 2x)\\&=\dfrac{\sqrt 2}{2}\sin \left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)+\dfrac{\sqrt 2}{4}.\end{split}\]所以 $y_{\max}=\dfrac{\sqrt 2}{2}+\dfrac{\sqrt 2}{4}=\dfrac{3\sqrt 2}{4}$，此时 $x$ 值的集合为 $\left\{x\bigg | x=k\pi+\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb Z\right\}$．
答案
解析
备注
