题目 设二次函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,4]$ 上的最大值为 $12$，且关于 $x$ 的不等式 $f(x)<0$ 的解集为 $(0,5)$． 问题1 求函数 $f(x)$ 的解析式； 答案1 $f(x)=2x^{2}-10x$ 解析1 依题意，设 $f(x)=ax(x-5),a>0$，即\[f(x)=a\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^{2}-\dfrac{25}{4}a.\]因为 $f(x)$ 在 $[-1,4]$ 上的最大值为 $12$，且 $a>0$，所以当 $x=-1$ 时，$f(x)$ 取得最大值，即 $f(-1)=6a=12$，得 $a=2$．故 $f(x)=2x^{2}-10x$． 备注1 问题2 若对于任意的 $x\in\mathbb R$．不等式 $f(2-2\cos x)<f(1-\cos x-m)$ 恒成立．求实数 $m$ 的取值范围． 答案2 $(-\infty,-5)\cup (1,+\infty)$ 解析2 设 $t=1-\cos x,0\leqslant t\leqslant 2$，则原不等式化为 $f(2t)<f(t-m)$，即\[8t^{2}-10t<2(t-m)^{2}-10(t-m),\]亦即\[(t+m)\left(t-\dfrac{m+5}{3}\right)<0.\]当 $-m<\dfrac{m+5}{3}$，即 $m>-\dfrac{5}{4}$ 时，$-m<t<\dfrac{m+5}{3}$ 此不等式对任意的 $t\in (0,2]$ 恒成立的充要条件是 $\begin{cases}-m<0,\\ \dfrac{m+5}{3}>2,\end{cases}$ 解得 $m>1$．<br/>当 $-m=\dfrac{m+5}{3}$，即 $m=-\dfrac{5}{4}$ 时，$\left(t-\dfrac{5}{4}\right)^{2}<0$，不满足要求．<br/>当 $-m>\dfrac{m+5}{3}$，即 $m<-\dfrac{5}{4}$ 时，$\dfrac{m+5}{3}<t<-m$ 此不等式对任意的 $t\in (0,2]$ 恒成立的充要条件是 $\begin{cases}\dfrac{m+5}{3}<0,\\ -m>2,\end{cases}$ 解得 $m<-5$．<br/>综上所述，实数 $m$ 的取值范围是 $(-\infty,-5)\cup (1,+\infty)$． 备注2