设 $x>0,y>0,n\mathbb N^{*}$，求证：$\dfrac{x^{n}}{1+x^{2}}+\dfrac{y^{n}}{1+y^{2}}\leqslant \dfrac{x^{n}+y^{n}}{1+xy}$．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $x>0,y>0,n\in\mathbb N^{*}$，所以\[(x^{n-1}y+xy^{n-1})-(x^{n}+y^{n})=-(x-y)(x^{n-1}-y^{n-1})\leqslant 0,\]即\[x^{n-1}y+xy^{n-1}\leqslant x^{n}+y^{n}.\]又因为\[(1+x^{2})(1+y^{2})=1+x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}\geqslant 1+2xy+x^{2}y^{2}=(1+xy)^{2},\]所以\[\begin{split}\dfrac{x^{n}}{1+x^{2}}+\dfrac{y^{n}}{1+y^{2}}&=\dfrac{x^{n}(1+y^{2})+y^{n}(1+x^{2})}{(1+x^{2})(1+y^{2})}\\&=\dfrac{x^{n}+y^{n}+xy(x^{n-1}y+xy^{n-1})}{(1+x^{2})(1+y^{2})}\\&\leqslant \dfrac{x^{n}+y^{n}+xy(x^{n}+y^{n})}{(1+xy)^{2}}\\&=\dfrac{x^{n}+y^{n}}{1+xy}.\end{split}\]
答案
解析
备注
