如图，$\triangle ABC$ 内接于 $\odot O$，$AC=AB$，直线 $MN$ 切 $\odot O$ 于点 $C$，弦 $ BD\parallel MN$，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $E$．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
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求证：$\triangle ABE\cong \triangle ACD$；标注答案略解析在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle ACD$ 中，因为 $AB=AC$，$\angle ABE=\angle ACD$，又 $\angle BAE=\angle EDC$，$BD \parallel MN$，所以 $\angle EDC=\angle DCN$．
因为直线 $MN$ 是圆的切线，所以 $\angle DCN=\angle CAD$，所以 $\angle BAE=\angle CAD$，因此 $\triangle ABE\cong \triangle ACD$（$\mathrm {ASA}$）． -
若 $AB=6$，$BC=4$，求 $AE$．标注答案$\dfrac{10}{3}$解析因为 $\angle EBC=\angle BCM$，$\angle BCM=\angle BDC$，所以 $\angle EBC=\angle BDC= \angle BAC $，$BC=CD=4$，又\[\begin{split}\angle BEC&=\angle BAC+\angle ABE\\&=\angle EBC+\angle ABE\\&=\angle ABC=\angle ACB.\end{split}\]所以 $BC=BE=4$．
设 $AE=x$，易证 $\triangle ABE\backsim \triangle DEC$，所以 $\dfrac {DE}{x}=\dfrac {DC}{AB}=\dfrac 46$，因此 $DE=\dfrac 23x$．又 $AE \cdot EC =BE \cdot ED$，$EC=6-x$，所以$$4\cdot \dfrac 23x=x(6-x),$$即 $x=\dfrac {10}{3}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
