题目 已知函数 $f(x)=\dfrac {\ln x}{x}-1$． 问题1 试判断函数 $f(x)$ 的单调性； 答案1 函数 $f(x)$ 在 $(0,\mathrm e)$ 上单调递增，在 $[\mathrm e,+\infty)$ 上单调递减 解析1 函数 $f(x)$ 的定义域是：$(0,+\infty)$．<br/>由已知 $f'(x)=\dfrac {1-\ln x}{x^2}$，令 $f'(x)=0$ 得，$1-\ln x=0$，所以 $x=\mathrm e$．<br/>因为，当 $0<x<\mathrm e$ 时，$f'(x)>0$，当 $x >\mathrm e$ 时，$f'(x)<0$，所以函数 $f(x)$ 在 $(0,\mathrm e)$ 上单调递增，在 $[\mathrm e,+\infty)$ 上单调递减． 备注1 问题2 设 $m>0$，求 $f(x)$ 在 $[m,2m]$ 上的最大值； 答案2 略 解析2 由 $(1)$ 知函数 $f(x)$ 在 $(0,\mathrm e)$ 上单调递增，在 $[\mathrm e,+\infty)$ 上单调递减．故<br/>① 当 $0<2m \leqslant \mathrm e$ 即 $0< m \leqslant\dfrac { \mathrm e}{2}$ 时，$f(x)$ 在 $[m,2m]$ 上单调递增，所以$$f(x)_{\max}=f(2m)=\dfrac {\ln 2m}{2m}-1.$$② 当 $m \geqslant \mathrm e$ 时，$f(x)$ 在 $[m,2m]$ 上单调递减，所以$$f(x)_{\max}=f(m)=\dfrac {\ln m}{ m}-1.$$③ 当 $m <\mathrm e <2m$，即 $\dfrac {\mathrm e}{2}<m<\mathrm e$ 时，所以$$f(x)_{\max}=f(\mathrm e)=\dfrac {1}{ \mathrm e}-1.$$ 备注2 问题3 试证明：对 $\forall n \in \mathbb N^*$，不等式 $\ln \left(\dfrac {1+n}{n}\right)^{\mathrm e}<\dfrac {1+n}{n}$ 成立． 答案3 略 解析3 由 $(1)$ 知，当 $ x\in (0,+\infty)$ 时，$f(x)_{\max}=f(\mathrm e)=\dfrac {1}{ \mathrm e}-1$，所以在 $ x\in (0,+\infty)$ 上恒有 $f(x)=\dfrac {\ln x}{x}-1\leqslant \dfrac {1}{\mathrm e}-1$，即 $\dfrac {\ln x}{x} \leqslant \dfrac {1}{\mathrm e}$ 且当 $x=\mathrm e$ 时等号成立．<br/>因此，对 $\forall x \in (0,+\infty)$ 恒有 $\ln x \leqslant \dfrac {1}{\mathrm e}x$．因为 $\dfrac {1+n}{n}>0$，$\dfrac {1+n}{n}\neq \mathrm e$，所以$$\ln \dfrac {1+n}{n}<\dfrac {1}{\mathrm e}\cdot \dfrac {1+n}{n} \Rightarrow \ln \left(\dfrac {1+n}{n}\right)^{\mathrm e}<\dfrac {1+n}{n}.$$即对 $\forall n \in \mathbb N^*$，不等式 $\ln \left(\dfrac {1+n}{n}\right)^{\mathrm e}<\dfrac {1+n}{n}$ 成立． 备注3