已知，当 $x\in[1,\rm e]$ 时，不等式 $a\ln x\leqslant -\dfrac 12 x^2+(a+1)x$ 恒成立，试求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2010年湖南省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
$a_n=n+6$
【解析】
不等式可化为$$a(x-\ln x)\geqslant \dfrac 12 x^2-x.$$因为 $x\in[1,\rm e]$，所以 $x-\ln x >0$，故不等式可进一步化为$$a\geqslant \dfrac{\dfrac 12 x^2-x}{x-\ln x}.$$设 $g(x)=\dfrac{\dfrac 12 x^2-x}{x-\ln x}$，$x\in[1,\rm e]$，因为\[\begin{split}g'(x)&=\dfrac{(x-1)(x-\ln x)-\left(1-\dfrac 1x\right)\left(\dfrac 12 x^2-x\right)}{(x-\ln x)^2}\\&=\dfrac{(x-1)\left(\dfrac 12 x+1-\ln x\right)}{(x-\ln x)^2},\end{split}\]当 $x\in (1,\rm e)$ 时，$x-1>0$，$\dfrac 12 x+1-\ln x>0$，所以 $g'(x)>0$．
又因为 $g(x)$ 在 $x=1$ 和 $x=\rm e$ 处连续，所以 $g(x)$ 在 $x\in[1,\rm e]$ 上为增函数，所以$$a\geqslant g(\rm e)=\dfrac{\dfrac 12 {\rm e}^2-\rm e}{{\rm e}-1}=\dfrac{{\rm e}^2-2\rm e}{2({\rm e}-1)}.$$
又因为 $g(x)$ 在 $x=1$ 和 $x=\rm e$ 处连续，所以 $g(x)$ 在 $x\in[1,\rm e]$ 上为增函数，所以$$a\geqslant g(\rm e)=\dfrac{\dfrac 12 {\rm e}^2-\rm e}{{\rm e}-1}=\dfrac{{\rm e}^2-2\rm e}{2({\rm e}-1)}.$$
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