如图，两个较小的圆 $\odot O_1,\odot O_2$ 在大圆 $\odot O_1$ 内滚动时始终保持和 $\odot O$ 内切，切点分别为 $P,Q$．$MN$ 是 $\odot O_1$ 和 $\odot O_2$ 的外公切线．已知 $\odot O_1,\odot O_2$ 和 $\odot O$ 的半径分别为 $r_1,r_2$ 和 $R$．求证：$\dfrac{MN^2}{PQ^2}$ 为定值．
【难度】
【出处】
2010年湖南省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{\pi}{3}$
【解析】
连结 $OP,OQ$，则 $O_1,O_2$ 分别在线段 $OP,OQ$ 上，连结 $O_1O_2,O_1M,O_2N$，则 $O_1M\perp MN$，$O_2N\perp MN$．在直角梯形或矩形 $O_1MNO_2$ 中，$$MN^2=O_1O_2^2-(r_1-r_2)^2,\cdots \text{ ① }$$在 $\triangle{O_1OO_2}$ 中，由余弦定理知，\[\begin{split}O_1O_2^2&=(R-r_1)^2+(R-r_2)^2-2(R-r_1)(R-r_2)\cos O\\&=[(R-r_1)-(R-r_2)]^2+2(R-r_1)(R-r_2)(1-\cos O)\\&=(r_1-r_2)^2+2(R-r_1)(R-r_2)(1-\cos O)\cdots \text{ ② }\end{split}\]将 ② 代入 ①，得$$MN^2=2(R-r_1)(R-r_2)(1-\cos O)\cdots \text{ ③ }$$在三角形 $POQ$ 中，仍由余弦定理，得$$\cos O=\dfrac{2R^2-PQ^2}{2R^2}\cdots \text{ ④ }$$将 ④ 代入 ③ 得$$MN^2=\dfrac{(R-r_1)(R-r_2)}{R^2}\cdot PQ^2,$$即 $\dfrac{MN^2}{PQ^2}=\dfrac{(R-r_1)(R-r_2)}{R^2}$ 为定值．
答案
解析
备注
