略

设直线 $AB$ 的参数方程为 $\begin{cases}x=t\cos \theta,\\ y=t\sin \theta,\end{cases}$（$0\leqslant \theta \leqslant \pi$），其中 $\theta$ 为直线 $AB$ 的倾斜角，$t$ 为参数，其几何意义是 $|t|$ 为原点 $O$ 到直线上相应点的距离．
设 $A,B,P$ 三点的坐标分别为 $A(t_1\cos \theta,t_1\sin \theta)$，$B(t_2\cos \theta,t_2\sin\theta)$，$P(t_3\cos \theta,t_3\sin \theta)$．
将点 $A$ 的坐标代入 $C_1$ 的方程，整理得$$\dfrac 1{t_1^2}=\dfrac{\cos ^2\theta}{a^2}+\dfrac{\sin ^2\theta}{b^2},$$再将 $\sin \theta=\dfrac y{t_3}$，$\cos \theta=\dfrac{x}{t_3}$ 代入上式，化简得$$\dfrac 1{t_1^2}=\dfrac 1{t_3^2}\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\right)\cdots \text{ ① }$$同理可得$$\dfrac 1{t_2^2}=\dfrac 1{t_3^2}\left(\dfrac{x^2}{m^2}+\dfrac{y^2}{n^2}\right)\cdots \text{ ② }$$于是，$|OA|,|OP|,|OB|$ 成等比数列等价于 $|t_1|,|t_3|,|t_2|$ 成等比数列，即$$|t_1|\cdot |t_2|=|t_3|^2,$$亦即 $t_1^2\cdot t_2^2=t_3^4$ 或 $\dfrac 1{t_1^2}\cdot \dfrac 1{t_2^2}=\dfrac 1{t_3^4}$，将 ①② 两式代入化简得$$\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\right)\left(\dfrac{x^2}{m^2}+\dfrac{y^2}{n^2}\right)=1.$$

设双曲线 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）和双曲线 $C_2:\dfrac{x^2}{m^2}-\dfrac{y^2}{n^2}=1$（$m>0,n>0$），过原点 $O$ 引射线分别交 $C_1,C_2$ 于 $A,B$ 两点，$P$ 为线段 $AB$ 上一点，则 $|OA|,|OP|,|OB|$ 成等比数列的充要条件是 $P$ 点的轨迹方程为：$$\left(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}\right)\left(\dfrac{x^2}{m^2}-\dfrac{y^2}{n^2}\right)=1.$$

无