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以这 $10$ 个点为顶点，所连线段为边，得到一个 $10$ 阶简单图 $G$．我们证明 $G$ 的边数不超过 $15$．设 $G$ 的顶点为 $v_{1},v_{2},\cdots,v_{10}$，共有 $k$ 条边，用 $\deg(v_{i})$ 表示顶点 $v_{i}$ 的度，若 $\deg(v_{i})\leqslant 3$ 对 $i=1,2,\cdots,10$ 都成立，则\[k=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{10}\deg(v_{i})\leqslant \dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 3=15.\]假设存在 $v_{i}$ 满足 $\deg(v_{i})\geqslant 4$．不妨设 $\deg(v_{1})=n\geqslant 4$，且 $v_{1}$ 与 $v_{2},\cdots,v_{n+1}$ 均相邻．于是 $v_{2},\cdots,v_{n+1}$ 之间没有边，否则就形成三角形．所以 $v_{1},v_{2},\cdots,v_{n+1}$ 之间恰有 $n$ 条边．
对每个 $j(n+2\leqslant j\leqslant 10)$，$v_{j}$ 至多与 $v_{2},v_{3},\cdots,v_{n+1}$ 中的一个顶点相邻（否则设 $v_{j}$ 与 $v_{s},v_{t},2\leqslant s<t\leqslant n+1$ 相邻，则 $v_{1},v_{s},v_{j},v_{t}$ 就对应了一个空间四边形的四个顶点，这与题设条件矛盾．），从而 $v_{2},\cdots, v_{n+1}$ 与 $v_{n+2},\cdots,v_{10}$ 之间的边数至多 $10-(n+1)=9-n$ 条．
在 $v_{n+2},\cdots,v_{10}$ 这 $9-n$ 个顶点之间，由于没有三角形，由托兰定理，至多 $\left[\dfrac{(9-n)^{2}}{4}\right]$ 条边．因此 $G$ 的边数\[\begin{split}k&\leqslant n+(9-n)+\left[\dfrac{(9-n)^{2}}{4}\right]\\&=9+\left[\dfrac{(9-n)^{2}}{4}\right]\\&\leqslant 9+\left[\dfrac{25}{4}\right]=15.\end{split}\]如图给出的图形共有 $15$ 条边，且满足要求．综上所述，所求边数的最大值为 $15$．

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