如图，$F_1,F_2$ 为双曲线 $C:\dfrac{x^2}4-y^2=1$ 的左、右焦点，动点 $P(x_0,y_0)(y_0\geqslant 1)$ 在双曲线 $C$ 上的右支上．设 $\angle F_1PF_2$ 的角平分线交 $x$ 轴于点 $M(m,0)$，交 $y$ 轴于点 $N$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
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求 $m$ 的取值范围；标注答案根据双曲线的光学性质，可得 $\angle F_1PF_2$ 的平分线所在的直线即双曲线在点 $P$ 处的切线，其方程为\[\dfrac{x_0x}{4}-y_0y=1,\]因此 $m=\dfrac{4}{x_0}$．根据题意，可得 $x_0$ 的取值范围是 $\left[2\sqrt 2,+\infty\right)$，因此 $m$ 的取值范围是 $\left(0,\sqrt 2\right]$．解析无
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设过 $F_1,N$ 的直线 $l$ 交双曲线 $C$ 于点 $D,E$ 两点，求 $\triangle F_2DE$ 面积的最大值．标注答案由 $(1)$ 知，点 $N\left(0,-\dfrac{1}{y_0}\right)$，而 $F_1\left(-\sqrt 5,0\right)$，因此直线\[NF_1:-\dfrac{1}{\sqrt 5y_0}\left(x+\sqrt 5\right).\]设 $D(x_1,y_1)$，$E(x_2,y_2)$，则题中所求面积\[S=\dfrac 12|y_1-y_2|\cdot |F_1F_2|=\sqrt 5\cdot |y_1-y_2|.\]将直线 $NF_1$ 的方程与双曲线方程联立，可得\[\left(5y_0^2-4\right)y^2+10y_0y+1=0,\]因此\[|y_1-y_2|=\dfrac{4\sqrt{5y_0^2+1}}{\left|5y_0^2-4\right|},\]因此可得\[S=4\sqrt 5\cdot \sqrt{5t^2+t},\]其中 $t=\dfrac{1}{5y_0^2-4}$，$t\in (0,1]$．因此当 $t=1$ 时，$S$ 取得最大值 $4\sqrt{30}$，此时点 $P\left(2\sqrt 2,1\right)$．解析无
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
