（$30$ 分）设函数 $f(x)=\ln x+a\left(\dfrac 1 x-1\right),a\in \mathbb R$，且 $f(x)$ 的最小值为 $0$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
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求 $a$ 的值；标注答案$f'(x)=\dfrac 1 x-\dfrac a{x^2}=\dfrac{x-a}{x^2},x>0$．
当 $a\leqslant 0$ 时，$f'(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，无最小值，不合题意．
当 $a>0$ 时，若 $0<x<a$，则 $f'(x)<0$；若 $x>a$，则 $f'(x)>0$．所以函数 $f(x)$ 在 $(0,a)$ 上单调递减，在 $(a,+\infty)$ 上单调递增．
所以 $f(x)_{min}=f(a)=\ln a-a +1$．
设 $g(a)=\ln a-a+1(a>0)$，则\[g'(a)=\dfrac 1 a-1=\dfrac{1-a}a.\]若 $0<a<1$，则 $g'(a)>0$；若 $a>1$，则 $g'(a)<0$．所以函数 $g(a)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减．
所以 $g(a)\leqslant g(1)=0$，当且仅当 $a=1$ 时，等号成立．
故当 $a=1$ 时，$f(x)$ 取得最小值 $0$．解析无 -
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1,a_{n+1}=f(a_n)+2(n \in \mathbb N_+)$．设 $S_n=[a_1]+[a_2]+[a_3]+\cdots +[a_n]$，其中 $[m]$ 表示不超过实数 $m$ 的最大整数．求 $S_n$．标注答案由 $(1)$ 知，$f(x)=\ln x+\dfrac 1 x-1$，所以\[a_{n+1}=f(a_n)+2=\ln a_n+\dfrac 1{a_n}+1.\]由 $a_1=1$，得 $a_2=2$．从而，$a_3=\ln 2+\dfrac 3 2$．因为 $\dfrac 1 2<\ln 2<1$ ，所以 $2<a_3<3$．
下面用数学归纳法证明：当 $n\geqslant 3$ 时，$2<a_n<3$．
（I）当 $n=3$ 时，结论已成立．
（II）假设 $n=k(k\geqslant 3)$ 时，$2<a_k<3$．那么，当 $n=k+1$ 时，有\[a_{k+1}=\ln a_k +\dfrac 1 {a_k}+1.\]由 $(1)$ 知，\[h(x)=f(x)+2=\ln x+\dfrac 1 x+1\]在 $(2,3)$ 上单调递增．
所以 $h(2)<h(a_k)<h(3)$，即\[\ln 2+\dfrac 3 2<h(a_k)<\ln 3+\dfrac 1 3+1.\]因为 $\ln 2>\dfrac 1 2, \ln 3<\dfrac 5 3$，所以 $2<h(a_k)<3$，即 $2<a_{k+1}<3$．
即当 $n=k+1$ 时，结论也成立．
由（I）、（II）知，对一切整数 $n\geqslant 3$，都有 $2<a_n<3$．
所以 $[a_1]=1,[a_n]=2(n\geqslant 2)$．
故\[\begin{split}S_n&=[a_1]+[a_2]+[a_3]+\cdots+[a_n]\\&=1+2(n-1)\\&=2n-1.\end{split}\]解析无
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
