已知函数 $f(x)=\log_{4}(4^{x}+1)+kx(k\in\mathbb R)$ 是偶函数．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
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求 $k$ 的值；标注答案$k=-\dfrac{1}{2}$解析因为 $f(x)$ 为偶函数，所以 $f(-x)=f(x)$，即\[\log_{4}(4^{-x}+1)+k(-x)=\log_{4}(4^{x}+1)+kx.\]所以\[\begin{split}2kx&=\log_{4}(4^{-x}+1)-\log_{4}(4^{x}+1)\\&=\log_{4}\left(\dfrac{1+4^{x}}{4^{x}}\times \dfrac{1}{4^{x}+1}\right)\\&=\log_{4}4^{-x}=-x\end{split}\]由 $x$ 的任意性可知，$k=-\dfrac{1}{2}$．
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若方程 $f(x)=\log_{4}\left(\dfrac{m}{2^{x}}-1\right)$ 有解，求实数 $m$ 的取值范围．标注答案$m>1$解析$\log_{4}(4^{x}+1)-\dfrac{1}{2}x=\log_{4}\left(\dfrac{m}{2^{x}}-1\right)$，$\log_{4}\dfrac{4^{x}+1}{2^{x}}=\log_{4}\left(\dfrac{m}{2^{x}}-1\right)$，$m=4^{x}+2^{x}+1$．令 $2^{x}=t$，则 $t>0$，\[m=t^{2}+t+1=\left(t+\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4}.\]所以 $m>1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
