题目 某厂每日生产一种大型产品 $2$ 件，每件产品的投入成本为 $2000$ 元．产品质量为一等品的概率为 $0.5$；二等品的概率为 $0.4$．每件一等品的出厂价为 $10000$ 元，每件二等品的出厂价为 $8000$ 元，若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，每生产一件产品还会带来 $1000$ 元的损失． 问题1 求在连续生产的 $3$ 天中，恰有一天生产的两件产品都为一等品的概率； 答案1 $\dfrac{27}{64}$ 解析1 一天中两件都为一等品的概率为 $0.5^{2}=0.25=\dfrac{1}{4}$．设连续三天中，恰有一天生产的两件产品都为一等品为事件 $A$，则\[P(A)={\rm C}_{3}^{1}\times \dfrac{1}{4}\times \left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=\dfrac{27}{64}.\] 备注1 问题2 已知该厂某日生产的这种大型产品 $2$ 件中有一件为一等品，求另一件也为一等品的概率； 答案2 $\dfrac{1}{4}$ 解析2 两件中有一件为一等品（事件B）的概率为\[\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4};\]两件都为一等品的概率为 $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$．<br/>已知一件为一等品的条件下，另一件也为一等品的概率\[P(B|A)=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{1}{3}.\] 备注2 问题3 求该厂每日生产的这种产品所获利润 $\xi\text{(元)}$ 的分布列和期望． 答案3 $\xi$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \xi &16000 & 14000 & 5000 &12000 & 3000 & -6000 \\ \hline P & 0.25 & 0.4 & 0.1 & 0.16 & 0.08 &0.01\\ \hline\end{array}\]期望为 $12200$ 解析3 $\xi$ 的可能取值为 $16000$，$140000$，$5000$，$12000$，$3000$，$-6000$．\[\begin{split}&P(\xi=16000)=0.5^{2}=0.25;\\&P(\xi =14000)={\rm C}_{2}^{1}\times 0.5\times 0.4=0.4;\\&P(\xi =5000)={\rm C}_{2}^{1}\times 0.5\times 0.1=0.1;\\&P(\xi=12000)=0.4^{2}=0.16;\\&P(\xi =3000)={\rm C}_{2}^{1}\times 0.1\times 0.4=0.08;\\&P(\xi =-6000)=0.1^{2}=0.01;\end{split}\]故 $\xi$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \xi &16000 & 14000 & 5000 &12000 & 3000 & -6000 \\ \hline P & 0.25 & 0.4 & 0.1 & 0.16 & 0.08 &0.01\\ \hline\end{array}\]所以\[\begin{split}E\xi &=16000\times 0.25 +14000\times 0.4+5000\times 0.1+12000\times 0.16+3000\times 0.08+(-6000)\times 0.01\\&=12200.\end{split}\] 备注3