已知向量 $\left|\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow b\right|=2$，$\left|\overrightarrow c\right|=1$，$\left(\overrightarrow c-\overrightarrow a\right)\cdot\left(\overrightarrow c-\overrightarrow b\right)=0$，则 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的可能是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
AB
【解析】
设 $\overrightarrow a=\overrightarrow {OA}$，$\overrightarrow b=\overrightarrow {OB}$，$\overrightarrow c=\overrightarrow {OC}$，于是条件 $(\overrightarrow c-\overrightarrow a)\cdot(\overrightarrow c-\overrightarrow b)=0$ 即$$\overrightarrow {AC}\cdot\overrightarrow {BC}=0.$$由题意知 $A,B$ 在以 $O$ 为圆心，$2$ 为半径的圆上运动；$C$ 在以 $O$ 为圆心，$1$ 为半径的圆上运动，且有 $AC\perp BC$，即点 $C$ 在以 $AB$ 为直径的圆上．
记 $AB$ 的中点为 $M$，有$$\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=OM^2-\dfrac 14AB^2=4-\dfrac 12AB^2,$$所以求 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的范围，只需要求出 $AB$ 的范围即可．
因为 $OM\perp AB$，考虑点 $M$ 在大圆 $O$（半径为 $2$ 的圆）的一条半径上运动，过 $M$ 作 $AB\perp OM$，与大圆相交于 $A,B$ 两点，再以 $M$ 为圆心，$\dfrac 12AB$ 为半径作圆 $M$，若圆 $M$ 与小圆 $O$（半径为 $1$ 的圆）有公共点，则对应的 $A,B$ 满足要求．
于是得到两个临界情况，下图是 $AB$ 取到最小值时情况：
记 $r=\dfrac 12AB$，在 $\triangle OAM$ 中，有$$r^2+(r+1)^2=2^2,$$解得$$r=\dfrac{\sqrt 7-1}{2}.$$下图是 $AB$ 取到最大值时的情况：
在 $\triangle OAM$ 中，有$$r^2+(r-1)^2=2^2,$$解得$$r=\dfrac{\sqrt 7+1}{2}.$$于是得到 $\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b$ 的取值范围．
记 $AB$ 的中点为 $M$，有$$\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=OM^2-\dfrac 14AB^2=4-\dfrac 12AB^2,$$所以求 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的范围，只需要求出 $AB$ 的范围即可．
因为 $OM\perp AB$，考虑点 $M$ 在大圆 $O$（半径为 $2$ 的圆）的一条半径上运动，过 $M$ 作 $AB\perp OM$，与大圆相交于 $A,B$ 两点，再以 $M$ 为圆心，$\dfrac 12AB$ 为半径作圆 $M$，若圆 $M$ 与小圆 $O$（半径为 $1$ 的圆）有公共点，则对应的 $A,B$ 满足要求．
于是得到两个临界情况，下图是 $AB$ 取到最小值时情况：
记 $r=\dfrac 12AB$，在 $\triangle OAM$ 中，有$$r^2+(r+1)^2=2^2,$$解得$$r=\dfrac{\sqrt 7-1}{2}.$$下图是 $AB$ 取到最大值时的情况：在 $\triangle OAM$ 中，有$$r^2+(r-1)^2=2^2,$$解得$$r=\dfrac{\sqrt 7+1}{2}.$$于是得到 $\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b$ 的取值范围．
题目
答案
解析
备注
