设 $M(m,0)$，$N(n,0)$，设 $A,B,C,D$ 四点对应的参数分别为 $2\theta_1,2\theta_2,2\theta_3,2\theta_4$．
对于选项 A，由椭圆的参数弦方程可得\[\begin{cases}\tan\theta_1\cdot \tan\theta_3=\tan\theta_2\cdot \tan\theta_4=\dfrac{n-a}{n+a},\\
\tan\theta_1\cdot \tan\theta_2=\dfrac{m-a}{m+a},\end{cases}\]从而\[\begin{cases} \tan\theta_2=\dfrac{m-a}{m+a}\cdot \dfrac{1}{\tan\theta_1},\\
\tan\theta_3=\dfrac{n-a}{n+a}\cdot \dfrac{1}{\tan\theta_1},\\
\tan\theta_4=\dfrac{(n-a)(m+a)}{(n+a)(m-a)}\cdot \tan\theta_1,\end{cases}\]因此所求斜率之比为\[\begin{split} \dfrac{\tan(\theta_3+\theta_1)}{\tan(\theta_1+\theta_2)}&=\dfrac{\tan\theta_3+\tan\theta_4}{1-\tan\theta_3\cdot\tan\theta_4}\cdot\dfrac{1-\tan\theta_1\cdot\tan\theta_2}{\tan\theta_1+\tan\theta_2}\\
&=\dfrac{a^2+n^2-2mn}{a^2-n^2}\end{split}\]为定值，原命题得证．
对于选项 C，直线 $CD$ 的横截距\[a\cdot \dfrac{1+\tan\theta_3\tan\theta_4}{1-\tan\theta_3\tan\theta_4}=\dfrac{2a^2n-a^2n-mn^2}{a^2-2mn+n^2}\]为定值，于是直线 $CD$ 过定点．
对于选项 D，直线 $AB,CD$ 的方程分别为\[\begin{cases} AB:\dfrac xa\cdot (1-\tan\theta_1\tan\theta_2)+\dfrac yb\cdot (\tan\theta_1+\tan\theta_2)=1+\tan\theta_1\tan\theta_2,\\
CD:\dfrac xa\cdot (1-\tan\theta_3\tan\theta_4)+\dfrac yb\cdot (\tan\theta_3+\tan\theta_4)=1+\tan\theta_3\tan\theta_4,\end{cases}\]而根据选项 A 的结果，有\[\dfrac{\tan\theta_1+\tan\theta_2}{\tan\theta_3+\tan\theta_4}\]为定值，因此联立后交点横坐标为定值，可以计算得该定值为 $\dfrac{a^2}{n} $，因此直线 $ AB $ 与 $ CD $ 的公共点在定直线 $ x=\dfrac{a^2}{n}$ 上．