由 $\left( {1,c} \right)$ 为公共切点可得：
$f\left(x\right) = a{x^2} + 1\left(a > 0\right)$，则\[f'\left(x\right) = 2ax , {k_1} = 2a,\]$g\left(x\right) = {x^3} + bx$，则\[g'\left(x\right){ = }3{x^2} + b , {k_2} = 3 + b,\]所以\[2a = 3 + b. \quad \cdots \cdots ① \]又 $f\left(1\right) = a + 1 , g\left(1\right) = 1 + b$，可知\[a + 1 = 1 + b,\]即\[a = b,\]代入 ① 式可得：\[\begin{cases}
a = 3 ,\\
b = 3 .\\
\end{cases}\]

$\because $ ${a^2} = 4b$，$\therefore $ 设\[\begin{split}h\left(x\right) & = f\left(x\right) + g\left(x\right) \\& = {x^3} + a{x^2} + \dfrac{1}{4}{a^2}x + 1,\end{split}\]则\[h'\left(x\right) = 3{x^2} + 2ax + \dfrac{1}{4}{a^2},\]令 $h'\left(x\right) = 0$，解得：\[{x_1} = - \dfrac{a}{2},{x_2} = - \dfrac{a}{6};\]$\because $ $a > 0$，$\therefore $ $ - \dfrac{a}{2} < - \dfrac{a}{6}$，
$\therefore $ 原函数在 $\left( { - \infty , - \dfrac{a}{2}} \right)$ 单调递增，在 $\left( { - \dfrac{a}{2}, - \dfrac{a}{6}} \right)$ 单调递减，在 $\left( { - \dfrac{a}{6}, + \infty } \right)$ 上单调递增．
① 若 $ - 1 \leqslant - \dfrac{a}{2}$，即 $a \leqslant 2$ 时，最大值为\[h\left( - 1\right) = a - \dfrac{a^2}{4};\]② 若 $ - \dfrac{a}{2} < - 1 < - \dfrac{a}{6}$，即 $2 < a < 6$ 时，最大值为\[h\left( { - \dfrac{a}{2}} \right) = 1;\]③ 若 $ - 1 \geqslant - \dfrac{a}{6}$ 时，即 $a \geqslant 6$ 时，最大值为\[h\left( { - \dfrac{a}{2}} \right) = 1.\]综上所述：
当 $a \in \left( {0,2} \right]$ 时，最大值为\[h\left( - 1\right) = a - \dfrac{a^2}{4};\]当 $a \in \left( {2 , + \infty } \right)$ 时，最大值为\[h\left( { - \dfrac{a}{2}} \right) = 1.\]