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设 $A$ 是由 $m \times n$ 个实数组成的 $m$ 行 $n$ 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 $ 1 $，且所有数的和为零．记 $S\left( {m,n} \right)$ 为所有这样的数表构成的集合．对于 $A \in S\left( {m,n} \right)$，记 ${r_i}\left( A \right)$ 为 $A$ 的第 $i$ 行各数之和 $\left( {1 \leqslant i \leqslant m} \right)$，${c_j}\left( A \right)$ 为 $A$ 的第 $j$ 列各数之和 $\left( {1 \leqslant j \leqslant n} \right)$；记 $k\left( A \right)$ 为 $|{r_1}\left( A \right)| , |{r_2}\left( A \right)| , \cdots , |{r_m}\left( A \right)|, |{c_1}\left( A \right)|, |{c_2}\left( A \right)| , \cdots ,|{c_n}\left( A \right)|$ 中的最小值．
【难度】
【出处】
2012年高考北京卷（理）
【标注】
  1. 对如下数表 $A$，求 $k\left( A \right)$ 的值；\begin{array}{|c|c|c|} \hline
    1 & 1 & -0.8 \\ \hline
    0.1 & -0.3 & -1 \\ \hline \end{array}
    标注
    答案
    解析
    由题意可知\[\begin{split}{r_1}\left( A \right) &= 1.2,{r_2}\left( A \right) = - 1.2, \\ {c_1}\left( A \right) &= 1.1,{c_2}\left( A \right) = 0.7,{c_3}\left( A \right) = - 1.8,\end{split}\]$\therefore$ $k\left( A \right) = 0.7$．
  2. 设数表 $A \in S\left( {2,3} \right)$ 形如\begin{array}{|c|c|c|} \hline
    1 & 1 & c \\ \hline
    a & b & -1 \\ \hline \end{array}求 $k\left( A \right)$ 的最大值；
    标注
    答案
    解析
    先用反证法证明 $k\left( A \right) \leqslant 1$．
    若 $k\left( A \right) > 1$，则\[|{c_1}\left( A \right)| = |a + 1| = a + 1 > 1,\]所以 $a > 0$，同理可知 $b > 0$，所以 $a + b > 0$，
    由题，所有数和为 $0$，即\[a + b + c = - 1,\]所以\[c = - 1 - a - b < - 1,\]与题目条件矛盾，所以\[k\left( A \right) \leqslant 1.\]易知当 $a = b = 0$ 时，$k\left( A \right) = 1$ 存在，所以 $k\left( A \right)$ 的最大值为 $ 1 $．
  3. 给定正整数 $t$，对于所有的 $A \in S\left( {2,2t + 1} \right)$，求 $k\left( A \right)$ 的最大值．
    标注
    答案
    解析
    $k\left( A \right)$ 的最大值为 $\dfrac{2t + 1}{t + 2}$．
    首先构造满足 $k\left(A\right) = \dfrac{2t + 1}{t + 2}$ 的 $A = \left\{ {a_{i,j}}\right\} \left(i = 1,2,j = 1,2,...,2t + 1\right)$：\[\begin{split}{a_{1,1}} &= {a_{1,2}} = \cdots = {a_{1,t}} = 1, \\ {a_{1,t + 1}} &= {a_{1,t + 2}} = \cdots = {a_{1,2t + 1}} = - \dfrac{t - 1}{t + 2} , \\ {a_{2,1}} &= {a_{2,2}} = \cdots = {a_{2,t}} = \dfrac{{{t^2} + t + 1}}{t\left(t + 2\right)}, \\ {a_{2,t + 1}} &= {a_{2,t + 2}} = \cdots = {a_{2,2t + 1}} = - 1.\end{split}\]经计算知，$A$ 中每个元素的绝对值都小于 $ 1 $，所有元素之和为 $ 0 $，且\[\begin{split}|{r_1}\left(A\right)| &= |{r_2}\left(A\right)| = \dfrac{2t + 1}{t + 2} , \\ |{c_1}\left(A\right)| &= |{c_2}\left(A\right)| = \cdots = |{c_t}\left(A\right)| = 1 + \dfrac{{{t^2} + t + 1}}{t\left(t + 2\right)} > 1 + \dfrac{t + 1}{t + 2} > \dfrac{2t + 1}{t + 2} , \\ |{c_{t + 1}}\left(A\right)| &= |{c_{t + 2}}\left(A\right)| = \cdots = |{c_{2t + 1}}\left(A\right)| = 1 + \dfrac{t - 1}{t + 2} = \dfrac{2t + 1}{t + 2}.\end{split}\]下面证明 $\dfrac{2t + 1}{t + 2}$ 是最大值．若不然，则存在一个数表 $A \in S\left(2,2t + 1\right)$，使得\[k\left(A\right) = x > \dfrac{2t + 1}{t + 2}.\]由 $k\left(A\right)$ 的定义知 $A$ 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 $x$，而两个绝对值不超过 $ 1 $ 的数的和，
    其绝对值不超过 $ 2 $，故 $A$ 的每一列两个数之和的绝对值都在区间 $\left[x,2\right]$ 中．
    由于 $x > 1$，故 $A$ 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于 $x - 1$．
    设 $A$ 中有 $g$ 列的列和为正，有 $h$ 列的列和为负，由对称性不妨设 $g < h$，则\[g \leqslant t,h \geqslant t + 1.\]另外，由对称性不妨设 $A$ 的第一行行和为正，第二行行和为负．
    考虑 $A$ 的第一行，由前面结论知 $A$ 的第一行有不超过 $t$ 个正数和不少于 $t + 1$ 个负数，
    每个正数的绝对值不超过 $ 1 $（即每个正数均不超过 $ 1 $），
    每个负数的绝对值不小于 $x - 1$（即每个负数均不超过 $1 - x$）．因此\[\begin{split}|{r_1}\left(A\right)| &= {r_1}\left(A\right) \\& \leqslant t \cdot 1 + \left(t + 1\right)\left(1 - x\right) \\& = 2t + 1 - \left(t + 1\right)x \\& = x + \left( {2t + 1 - \left(t + 2\right)x} \right) \\& < x,\end{split}\]故 $A$ 的第一行行和的绝对值小于 $x$，与假设矛盾．因此 $k\left( A \right)$ 的最大值为 $\dfrac{2t + 1}{t + 2}$．
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2 问题3 答案3 解析3 备注3
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