已知等比数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 中，${a_1} = \dfrac{1}{3}$，公比 $q = \dfrac{1}{3}$．
【难度】
【出处】
2011年高考新课标全国卷（文）
【标注】
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${S_n}$ 为 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的前 $n$ 项和，证明：${S_n} = \dfrac{{1 - {a_n}}}{2}$；标注答案解析因为\[\begin{split}{a_n} &= \dfrac{1}{3} \times {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = \dfrac{1}{3^n}, \\ {S_n} &= \dfrac{{\dfrac{1}{3}\left( {1 - \dfrac{1}{3^n}} \right)}}{{1 - \dfrac{1}{3}}} = \dfrac{{1 - \dfrac{1}{3^n}}}{2},\end{split}\]所以\[{S_n} = \dfrac{{1 - {a_n}}}{2}.\]
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设 ${b_n} = {\log _3}{a_1} + {\log _3}{a_2} + \cdots + {\log _3}{a_n}$，求数列 $\left\{ {b_n}\right\} $ 的通项公式．标注答案解析因为\[ a_n=\dfrac{1}{3^n}.\]所以\[ \log _3{a_n}=\log _3{\dfrac{1}{3^n}}=-n,\]所以\[\begin{split}{b_n} & = {\log _3}{a_1} + {\log _3}{a_2} + \cdots + {\log _3}{a_n} \\&
= - \left(1 + 2 + \cdots + n\right) \\&= - \dfrac{n\left(n + 1\right)}{2},\end{split}\]所以 $\left\{ {b_n}\right\} $ 的通项公式为\[{b_n} = - \dfrac{n\left(n + 1\right)}{2}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
