题目 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $y = {x^2} - 6x + 1$ 与坐标轴的交点都在圆 $C$ 上． 问题1 求圆 $C$ 的方程； 答案1 解析1 曲线 $y = x^2 - 6x + 1$ 与 $y$ 轴的交点为 $\left(0,1\right)$，与 $x$ 轴的交点为\[\left( {3 + 2\sqrt 2 ,0} \right),\left( {3 - 2\sqrt 2 ,0} \right).\]故可设 $C$ 的圆心为 $\left(3,t\right)$，则有\[{3^2} + {\left(t - 1\right)^2} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} + {t^2},\]解得\[t = 1.\]则圆 $C$ 的半径为\[\sqrt {{3^2} + {{\left(t - 1\right)}^2}} = 3.\]所以圆 $C$ 的方程为\[{\left(x - 3\right)^2} + \left(y - 1\right)^2 = 9.\] 备注1 问题2 若圆 $C$ 与直线 $x - y + a = 0$ 交于 $A$，$B$ 两点，且 $OA \perp OB$，求 $a$ 的值． 答案2 解析2 设 $A\left({x_1},{y_1}\right)$，$B\left({x_2},{y_2}\right)$，其坐标满足方程组：\[{\begin{cases}<br/>x - y + a = 0, \\<br/>{\left(x - 3\right)^2} + \left(y - 1\right)_{}^2 = 9. \\<br/>\end{cases}}\]消去 $y$，得到方程\[2{x^2} + \left(2a - 8\right)x + a ^2 - 2a + 1 = 0.\]由已知可得，判别式\[\Delta = 56 - 16a - 4a ^2 > 0.\]从而\[{x_1} + {x_2} = 4 - a,{x_1}{x_2} = \dfrac{a ^2 - 2a + 1}{2}\quad \cdots \cdots ① \]由于 $OA \perp OB$，可得\[{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0,\]又 ${y_1} = {x_1} + a$，${y_2} = {x_2} + a$，所以\[2{x_1}{x_2} + a\left({x_1} + {x_2}\right) + a^2 = 0 \quad \cdots \cdots ② \]由 ①，② 得\[a = - 1,\]满足 $\Delta > 0$，故\[a = - 1.\] 备注2