$ a = 1$，$b = 1$．

\[f'\left(x\right) = \dfrac{{a \left( {\dfrac{x + 1}{x} - \ln x} \right)}}{{{{\left(x + 1\right)}^2}}} - \dfrac{b}{x^2}.\]由于直线 $x + 2y - 3 = 0$ 的斜率为 $ - \dfrac{1}{2}$，且过点 $\left(1,1\right)$，故\[{ \begin{cases}
f\left(1\right) = 1, \\
f'\left(1\right) = - \dfrac{1}{2}, \\
\end{cases} }\]即\[{ \begin{cases}b = 1, \\
\dfrac{a}{2} - b = - \dfrac{1}{2}, \\
\end{cases} }\]解得\[a = 1,b = 1.\]

略．

由（1）知\[f\left(x\right) = \dfrac{\ln x}{x + 1} + \dfrac{1}{x},\]所以\[f\left(x\right) - \dfrac{\ln x}{x - 1} = \dfrac{1}{1 - x ^2}\left( {2\ln x - \dfrac{x ^2 - 1}{x}} \right).\]考虑函数 $h\left(x\right) = 2\ln x -\dfrac{x ^2 - 1}{x}\left(x > 0\right)$，则\[ \begin{split}h'\left(x\right) &= \dfrac{2}{x} - \dfrac{{2x ^2 - \left({x^2} - 1\right)}}{x ^2} \\&= - \dfrac{{{{\left(x - 1\right)}^2}}}{x^2},\end{split} \]所以当 $x \ne 1$ 时，$h'\left(x\right) < 0$，而\[h\left(1\right) = 0,\]故当 $x \in \left(0,1\right)$ 时，\[h\left(x\right) > 0,\]可得\[\dfrac{1}{{1 - {x^2}}}h\left(x\right) > 0;\]当 $x \in \left(1, + \infty \right)$ 时，$h\left(x\right) < 0$，可得\[\dfrac{1}{{1 - {x^2}}}h\left(x\right) > 0;\]从而当 $x > 0$，且 $x \ne 1$ 时，\[f\left(x\right) - \dfrac{\ln x}{x - 1} > 0,\]即\[f\left(x\right) > \dfrac{\ln x}{x - 1}.\]