在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 ${C_1}$ 的参数方程为 $\begin{cases}
x = 2\cos \alpha \\
y = 2 + 2\sin \alpha \\
\end{cases}$（$ \alpha $ 为参数），$M$ 为 ${C_1}$ 上的动点，$P$ 点满足 $\overrightarrow {OP} = 2{\overrightarrow {OM} }$，点 $P$ 的轨迹为曲线 ${C_2}$．
x = 2\cos \alpha \\
y = 2 + 2\sin \alpha \\
\end{cases}$（$ \alpha $ 为参数），$M$ 为 ${C_1}$ 上的动点，$P$ 点满足 $\overrightarrow {OP} = 2{\overrightarrow {OM} }$，点 $P$ 的轨迹为曲线 ${C_2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求 ${C_2}$ 的方程；标注答案$ {\begin{cases}
x = 4\cos \alpha ,\\
y = 4 + 4\sin \alpha, \\
\end{cases}} \left(\alpha 为参数\right) $解析设 $P\left(x,y\right)$，则由条件知\[M\left( {\dfrac{x}{2},\dfrac{y}{2}} \right).\]由于 $M$ 点在 ${C_1}$ 上，所以\[{\begin{cases}
\dfrac{x}{2} = 2\cos \alpha , \\
\dfrac{y}{2} = 2 + 2\sin \alpha, \\
\end{cases}}\]即\[{\begin{cases}x = 4\cos \alpha ,\\
y = 4 + 4\sin \alpha ,\\
\end{cases} }\]从而 $C_2$ 的参数方程为\[{\begin{cases}x = 4\cos \alpha ,\\
y = 4 + 4\sin \alpha, \\
\end{cases}} \left(\alpha 为参数\right).\] -
在以 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 $\theta = \dfrac{\mathrm \pi} {3}$ 与 ${C_1}$ 的异于极点的交点为 $A$，与 ${C_2}$ 的异于极点的交点为 $B$，求 $|AB|$．标注答案$|AB| = 2\sqrt 3 $解析曲线 $C_1$ 的极坐标方程为\[\rho = 4\sin \theta ,\]曲线 $C_2$ 的极坐标方程为\[\rho = 8\sin \theta .\]射线 $\theta = \dfrac{\mathrm \pi} {3}$ 与 $C_1$ 的交点 $A$ 的极径为\[\rho_ 1 = 4\sin \dfrac{\mathrm \pi} {3},\]射线 $\theta = \dfrac{\mathrm \pi} {3}$ 与 $C_2$ 的交点 $B$ 的极径为\[\rho _2 = 8\sin \dfrac{\mathrm \pi} {3}.\]所以\[|AB| = |\rho _2 - \rho _1| = 2\sqrt 3.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
