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以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 $X$ 表示．\[ \begin{array}{cc|c|ccc}
&甲组&&乙组\\ \hline
9&9&0&X&8&9\\
1&1&1&0\\
\end{array} \]（注：方差 ${s^2} = \dfrac{1}{n}\left[{\left({x_1} - \overline x \right)^2} + {\left({x_2} - \overline x \right)^2} + \cdots +{\left({x_n} - \overline x \right)^2}\right]$，其中 $\overline x $ 为 ${x_1} , {x_2} , \cdots , {x_n}$ 的平均数）
【难度】
【出处】
2011年高考北京卷（文）
【标注】
  1. 如果 $X = 8$，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
    标注
    答案
    解析
    当 $X = 8$ 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：$8,8,9,10$，
    所以平均数为\[\overline x = \dfrac{8 + 8 + 9 + 10}{4} = \dfrac{35}{4};\]方差为\[\begin{split}{s^2} & = \dfrac{1}{4}\left[ {{{\left( {8 - \dfrac{35}{4}} \right)}^2} + {{\left( {8 - \dfrac{35}{4}} \right)}^2} + {{\left( {9 - \dfrac{35}{4}} \right)}^2} + {{\left( {10 - \dfrac{35}{4}} \right)}^2}} \right] \\& = \dfrac{11}{16}.\end{split}\]
  2. 如果 $X = 9$，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为 $ 19 $ 的概率．
    标注
    答案
    解析
    记甲组四名同学为 ${A_1} , {A_2} , {A_3} , {A_4}$，他们植树的棵数依次为 $9,9,11,11$；
    乙组四名同学为 ${B_1} , {B_2} , {B_3} , {B_4}$，他们植树的棵数依次为 $9,8,9,10$，
    分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有 $16$ 个，它们是：\[\left({A_1},{B_1}\right) , \left({A_1},{B_2}\right) , \left({A_1},{B_3}\right) , \left({A_1},{B_4}\right), \\ \left({A_2},{B_1}\right) , \left({A_2},{B_2}\right) , \left({A_2},{B_3}\right) , \left({A_2},{B_4}\right) , \\ \left({A_3},{B_1}\right) , \left({A_3},{B_2}\right) , \left({A_3},{B_3}\right) , \left({A_3},{B_4}\right), \\ \left({A_4},{B_1}\right) , \left({A_4},{B_2}\right) , \left({A_4},{B_3}\right) , \left({A_4},{B_4}\right),\]用 $C$ 表示："选出的两名同学的植树总棵数为 $19$ "这一事件，则 $C$ 中的结果有 $4$ 个，它们是\[\left({A_1},{B_4}\right) , \left({A_2},{B_4}\right) , \left({A_3},{B_2}\right) , \left({A_4},{B_2}\right),\]故所求概率为\[P\left(C\right) = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}.\]
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2
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