已知椭圆 $G:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left(a > b > 0\right)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 6 }{3}$，右焦点为 $\left( {2\sqrt 2 ,0} \right)$，斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与椭圆 $G$ 交于 $A,B$ 两点，以 $AB$ 为底边作等腰三角形，顶点为 $P\left( - 3,2\right)$．
【难度】
【出处】
2011年高考北京卷（文）
【标注】
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求椭圆 $G$ 的方程；标注答案解析由已知得 $c = 2\sqrt 2 $，$\dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt 6 }{3}$．解得 $a = 2\sqrt 3 $．又 ${b^2} = {a^2} - {c^2} = 4$．
所以椭圆 $G$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{12} + \dfrac{y^2}{4} = 1$． -
求 $\triangle PAB$ 的面积．标注答案解析设直线 $l$ 的方程为 $y = x + m$．由\[\begin{cases}
y = x + m, \\
\dfrac{x^2}{12} + \dfrac{y^2}{4} = 1, \\
\end{cases}\]得\[4{x^2} + 6mx + 3{m^2} - 12 = 0. \quad \cdots \cdots ① \]设 $A,B$ 的坐标分别为 $\left({x_1},{y_1}\right) , \left({x_2},{y_2}\right) \left({x_1} < {x_2}\right)$，$AB$ 中点为 $E\left({x_0},{y_0}\right)$，则\[\begin{split}{x_0} & = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = - \dfrac{3m}{4} , \\ {y_0} & = {x_0} + m = \dfrac{m}{4}.\end{split}\]因为 $AB$ 是等腰 $\triangle PAB$ 的底边，所以 $PE \perp AB$．
所以 $PE$ 的斜率\[k = \dfrac{{2 - \dfrac{m}{4}}}{{ - 3 + \dfrac{3m}{4}}} = - 1.\]解得 $m = 2$．此时方程 $ ① $ 为 $4{x^2} + 12x = 0$．解得\[{x_1} = - 3 ,{x_2} = 0.\]所以\[{y_1} = - 1 , {y_2} = 2.\]所以 $|AB| = 3\sqrt 2$．此时，点 $P\left( - 3,2\right)$ 到直线 $AB:x - y + 2 = 0$ 的距离\[d = \dfrac{| - 3 - 2 + 2|}{\sqrt 2 } = \dfrac{3\sqrt 2 }{2},\]所以 $\triangle PAB$ 的面积 $S = \dfrac{1}{2}|AB| \cdot d = \dfrac{9}{2}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
