题目 若数列 ${A_n}:{a_1}, {a_2}, \cdots ,{a_n}\left(n \geqslant 2\right)$ 满足 $|{a_{k + 1}} - {a_k}| = 1\left(k = 1,2, \cdots ,n - 1\right)$，则称 ${A_n}$ 为 $E$ 数列，记 $S\left({A_n}\right) = {a_1} + {a_2} + \cdots + {a_n}$． 问题1 写出一个 $E$ 数列 ${A_5}$ 满足 ${a_1} = {a_3} = 0$； 答案1 解析1 $0,1,0,1,0$ 是一个满足条件的 $E$ 数列 ${A_5}$．<br/>（答案不唯一，$0, - 1,0,1,0;0, \pm 1,0,1,2; 0, \pm 1,0, - 1, - 2 ;0, \pm 1,0, - 1,0$ 都<br/>是满足条件的 $E$ 数列 ${A_5}$） 备注1 问题2 若 ${a_1} = 12$，$n = 2000$，证明：$E$ 数列 ${A_n}$ 是递增数列的充要条件是 ${a_n} = 2011$； 答案2 解析2 必要性：因为 $E$ 数列 ${A_n}$ 是递增数列，所以\[{a_{k + 1}} - {a_k} = 1 \left(k = 1,2, \cdots ,1999\right).\]所以 ${A_n}$ 是首项为 $12$，公差为 $1$ 的等差数列．<br/>所以\[{a_{2000}} = 12 + \left(2000 - 1\right) \times 1 = 2011.\]充分性：由于\[\begin{split}{a_{2000}} - {a_{1999}} \leqslant 1 &, \\ {a_{1999}} - {a_{1998}} \leqslant 1&, \\ \cdots \cdots& , \\ {a_2} - {a_1} \leqslant 1&,\end{split}\]所以 ${a_{2000}} - {a_1} \leqslant 1999$，即\[{a_{2000}} \leqslant {a_1} + 1999.\]又因为 ${a_1} = 12$，${a_{2000}} = 2011$，所以\[{a_{2000}} = {a_1} + 1999.\]故\[{a_{k + 1}} - {a_k} = 1 > 0 \left(k = 1,2, \cdots ,1999\right),\]即 ${A_n}$ 是递增数列．<br/>综上，结论得证． 备注2 问题3 在 ${a_1} = 4$ 的 $E$ 数列 ${A_n}$ 中，求使得 $S\left({A_n}\right) = 0$ 成立的 $n$ 的最小值． 答案3 解析3 对首项为 $4$ 的 $E$ 数列 ${A_n}$，由于\[\begin{split} {a_2} & \geqslant {a_1} - 1 = 3 , \\ {a_3} & \geqslant {a_2} - 1 \geqslant 2 , \\ &\cdots\cdots \\ {a_8} & \geqslant {a_7} - 1 \geqslant - 3. \\ &\cdots\cdots\end{split}\]所以\[{a_1} + {a_2} + \cdots + {a_k} > 0 \left(k = 2,3, \cdots ,8\right),\]所以对任意的首项为 $4$ 的 $E$ 数列 ${A_n}$，若 $S\left({A_n}\right) = 0$，则必有 $n \geqslant 9$．<br/>又 ${a_1} = 4$ 的 $E$ 数列 ${A_9}:4,3,2,1,0, - 1, - 2, - 3, - 4$ 满足 $S\left({A_9}\right) = 0$，<br/>所以 $n$ 的最小值是 $9$． 备注3