在 $ \triangle ABC $ 中，角 $ A$，$B$，$C $ 的对边分别为 $ a$、$b$、$c $．已知 $ A={\dfrac{{\mathrm \pi } }{4}} $，$ b\sin \left({\dfrac{{\mathrm \pi } }{4}}+C\right) -c\sin \left({\dfrac{{\mathrm \pi } }{4}}+B\right) =a $．
【难度】
【出处】
2012年高考江西卷（理）
【标注】
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求证：$ B-C={\dfrac{{\mathrm \pi } }{2}} $；标注答案解析由已知及正弦定理，得\[ \sin B\sin \left({\dfrac{{\mathrm \pi } }{4}}+C \right)-\sin C\sin \left({\dfrac{{\mathrm \pi } }{4}}+B \right)=\sin A,\]即\[ \sin B \left({\dfrac{{\sqrt{2}}}{2}}\sin C+{\dfrac{{\sqrt{2}}}{2}}\cos C \right)-\sin C \left({\dfrac{{\sqrt{2}}}{2}}\sin B+{\dfrac{{\sqrt{2}}}{2}}\cos B\right)={\dfrac{{\sqrt{2}}}{2}}, \]整理得\[ \sin B\cos C-\cos B\sin C=1, \]即\[ \sin \left(B-C\right)=1 ,\]由于 $ 0<B,C<{\dfrac{3}{4}}{\mathrm \pi } $，从而\[ B-C={\dfrac{{\mathrm \pi } }{2}} .\]
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若 $ a={\sqrt{2}} $，求 $ \triangle ABC $ 的面积．标注答案解析\[ B+C={\mathrm \pi } -A={\dfrac{3{\mathrm \pi }}{4}},\]因此\[ B={\dfrac{5{\mathrm \pi } }{8}},C={\dfrac{{\mathrm \pi } }{8}} ,\]由 $ a={\sqrt{2}}$，$A={\dfrac{\mathrm \pi }{4}} $，得\[ \begin{split}b&={\dfrac{a\sin B}{\sin A}}=2\sin {\dfrac{5{\mathrm \pi } }{8}},\\ c&={\dfrac{a\sin C}{\sin A}}=2\sin {\dfrac{\mathrm \pi }{8}},\end{split} \]所以 $ \triangle ABC $ 的面积为\[ \begin{split}S &={\dfrac{1}{2}}bc \sin A \\&={\sqrt{2}}\sin {\dfrac{5{\mathrm \pi } }{8}}\sin {\dfrac{{\mathrm \pi } }{8}}\\&={\sqrt{2}}\cos {\dfrac{\mathrm \pi }{8}}\sin {\dfrac{\mathrm \pi }{8}}\\&={\dfrac{1}{2}}. \end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
