已知函数 $f(x)={\rm e}^x+x$，对于曲线 $y=f(x)$ 上横坐标成等差数列的三个点 $A,B,C$，以下判断正确的是 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
AD
【解析】
如图．设直线 $AB,BC$ 的斜率分别为 $k_{AB},k_{BC}$．
由于函数 $f(x)$ 单调递增，于是 $k_{AB},k_{BC}>0$，因此直线 $AB$ 和直线 $BC$ 的倾斜角之差为锐角，进而 $\angle ABC$ 为钝角，选项 A 正确，选项 B 错误．
由于 $\triangle ABC$ 为钝角三角形，因此如果它是等腰三角形，那么一定有 $AB=BC$，从而$$\sqrt{1+k_{AB}^2}\cdot |x_A-x_B|=\sqrt{1+k_{BC}^2}\cdot |x_B-x_C|,$$结合 $k_{AB},k_{BC}>0$，有 $k_{AB}=k_{BC}$，进而 $A,B,C$ 三点共线，矛盾．因此 $\triangle ABC$ 不可能为等腰三角形，选项 C 错误，选项 D 正确．
由于函数 $f(x)$ 单调递增，于是 $k_{AB},k_{BC}>0$，因此直线 $AB$ 和直线 $BC$ 的倾斜角之差为锐角，进而 $\angle ABC$ 为钝角，选项 A 正确，选项 B 错误．由于 $\triangle ABC$ 为钝角三角形，因此如果它是等腰三角形，那么一定有 $AB=BC$，从而$$\sqrt{1+k_{AB}^2}\cdot |x_A-x_B|=\sqrt{1+k_{BC}^2}\cdot |x_B-x_C|,$$结合 $k_{AB},k_{BC}>0$，有 $k_{AB}=k_{BC}$，进而 $A,B,C$ 三点共线，矛盾．因此 $\triangle ABC$ 不可能为等腰三角形，选项 C 错误，选项 D 正确．
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