解法一：设 $ M $ 的坐标为 $ \left(x,y\right) $，由已知得\[ |x+2|={\sqrt{\left(x-5\right)^2+y^2}}-3 ,\]易知圆 $ C_2 $ 上的点位于直线 $ x=-2 $ 的右侧，于是 $ x+2>0$，所以\[ {\sqrt{\left(x-5\right)^2+y^2}}=x+5. \]化简得曲线 $ C_1 $ 的方程为\[ y^2=20x. \]解法二：由题设知，曲线 $ C_1 $ 上任意一点 $ M $ 到圆心 $ C_2\left(5,0\right) $ 的距离等于它到直线 $ x=-5 $ 的距离．因此，曲线 $ C_1 $ 是以 $ \left(5,0\right) $ 为焦点，直线 $ x=-5 $ 为准线的抛物线．故其方程为\[ y^2=20x. \]

当点 $ P $ 在直线 $ x=-4 $ 上运动时，$ P $ 点坐标为 $ \left(-4,y_0\right) $．
又 $ y_0\neq \pm 3 $，则过 $ P $ 且与圆 $ C_2 $ 相切的直线的斜率 $ k $ 存在且不为 $ 0 $，
每条切线都与抛物线有两个交点，设切线方程为 $ y-y_0=k\left(x+4\right)$，即 $kx-y+y_0+4k=0$．于是\[ {\dfrac{|5k+y_0+4k|}{{\sqrt{k^2+1}}}}=3. \]整理得\[ 72k^2+18y_0k+y^2_0-9=0, \quad \cdots \cdots ① \]设过 $ P $ 所作的两条切线 $ PA,PC $ 的斜率分别为 $ k_1,k_2 $，则 $ k_1,k_2 $ 是方程 ① 的两个实根．故\[ k_1+k_2=-{\dfrac{18y_0}{72}}=-{\dfrac{y_0}{4}} , \quad \cdots \cdots ② \]由\[ \begin{cases} k_1x-y+y_0+4k_1=0,\\y^2=20x ,\end{cases} \]得\[ k_1y^2-20y+20\left(y_0+4k_1\right)=0.\quad \cdots \cdots ③ \]设四点 $ A,B,C,D $ 的纵坐标分别为 $ y_1,y_2,y_3,y_4 $，则 $ y_1,y_2 $ 是方程 ③ 的两个实根，所以\[ y_1y_2={\dfrac{20\left(y_0+4k_1\right)}{k_1}}, \quad \cdots \cdots ④ \]同理可得\[ y_3y_4={\dfrac{20\left(y_0+4k_2\right)}{k_2}} ,\quad \cdots \cdots ⑤ \]于是由 ②，④，⑤ 三式得\[ \begin{split}y_1y_2y_3y_4& ={\dfrac{400\left(y_0+4k_1\right)\left(y_0+4k_2\right)}{k_1k_2}}\\&={\dfrac{400\left[y^2_0+4\left(k_1+k_2\right)y_0+16k_1k_2\right]}{k_1k_2}}\\&={\dfrac{400\left(y^2_0-y^2_0+16k_1k_2\right)}{k_1k_2}}\\&=6 400.\end{split}\]所以，当 $ P $ 在直线 $ x=-4 $ 上运动时，四点 $ A,B,C,D $ 的纵坐标之积为定值 $ 6 400 $．