题目 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量 $ X $（单位：$ {\mathrm{mm}} $）对工期的影响如下表：\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline<br/>降水量X& X<300& 300\leqslant X<700 &700\leqslant X<900& X\geqslant 900 \\ \hline<br/>工期延误天数Y& 0& 2 &6& 10 \\ \hline \end{array} 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量 $ X $ 小于 $ 300,700,900 $ 的概率分别为 $ 0.3,0.7,0.9 $．求： 问题1 工期延误天数 $ Y $ 的均值与方差； 答案1 解析1 由已知条件和概率的加法公式有\[\begin{split} P\left(X<300\right)&=0.3,\\P\left(300\leqslant X<700\right)&=P\left(X<700\right)-P\left(X<300\right)\\&=0.7-0.3\\&=0.4,\\P\left(700\leqslant X<900\right)&=P\left(X<900\right)-P\left(X<700\right)\\&=0.9-0.7\\&=0.2,\\P\left(X\geqslant 900\right)&=1-P\left(X<900\right)\\&=1-0.9\\&=0.1.\end{split} \]所以 $ Y $ 的分布列为\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline<br/>Y &0 &2 &6 &10 \\ \hline<br/>P &0.3& 0.4& 0.2& 0.1\\ \hline \end{array} 于是，\[ \begin{split}E\left(Y\right)&=0\times 0.3+2\times 0.4+6\times 0.2+10\times 0.1=3;\\ D\left(Y\right)&=\left(0-3\right)^2\times 0.3+\left(2-3\right)^2\times 0.4+\left(6-3\right)^2\times 0.2+\left(10-3\right)^2 \times 0.1\\&=9.8. \end{split}\]故工期延误天数 $ Y $ 的均值为 $ 3 $，方差为 $ 9.8 $． 备注1 问题2 在降水量 $ X $ 至少是 $ 300 $ 的条件下，工期延误不超过 $ 6 $ 天的概率． 答案2 解析2 由概率的加法公式，\[\begin{split} P\left(X\geqslant 300\right)&=1-P\left(X<300\right)\\&=0.7.\end{split}\]又\[\begin{split}P\left(300\leqslant X<900\right)&=P\left(X<900\right)-P\left(X<300\right)\\&=0.9-0.3\\&=0.6.\end{split} \]由条件概率，得\[ \begin{split}P\left(Y\leqslant 6|X\geqslant 300\right) &=P\left(X<900|X\geqslant 300\right)\\&={\dfrac{P\left(300\leqslant X<900\right)}{P\left(X\geqslant 300\right)}}\\&={\dfrac{0.6}{0.7}}\\&={\dfrac{6}{7}}.\end{split} \]故在降水量 $ X $ 至少是 $ 300{\mathrm{ mm}} $ 的条件下，工期延误不超过 $ 6 $ 天的概率是 $ {\dfrac{6}{7}} $． 备注2